Главная > Введение в неравенства
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. «Положительные» и «отрицательные» числа

Теперь вы можете убедиться в силе аксиом I и II. Вам, может быть, будет забавно узнать, что, исходя из них, вы можете определить, какое из неравных нулю действительных чисел относится к множеству положительных чисел и какое относится к множеству отрицательных чисел, как будто вы этого уже не знали раньше!

Чтобы показать это, будем брать слова "положительное" и "отрицательное" в кавычки, отмечая тем самым, что информация о характере соответствующих чисел не известна нам заранее, а получена из аксиом.

Начнем с числа Так как то из теоремы следует, что Таким образом, "положительно". Но

так что 1 — "положительное" число.

Положим, далее, Так как мы только что установили, что 1 — "положительное" число, и так как то из аксиомы II, утверждающей, что сумма двух "положительных" чисел "положительна", следует, что

2 — "положительное" число.

Пусть теперь Тогда таким образом, произведение "положительного" числа 2 и числа а — "положительное" число 1. Но если бы а было "отрицательным", то на основании теоремы 1 произведение 2 и а было бы "отрицательным". Поэтому а должно быть "положительно".

Таким образом, числа 1, 2, 1/2 "положительны", и, следовательно, в силу табл. 1 числа —1, —2, —1/2 "отрицательны".

Продолжая, мы можем показать, что целые числа 3, 4 и т. д., дроби 1/3, 1/4 и т. д. и дроби 2/3, 4/3, 3/4, 5/4 и т. д. "положительны" и соответственно что —3, —4, — 1/3 и т. д. "отрицательны". Итак, мы можем определить, будет ли "положительным" или "отрицательным" любое неравное нулю рациональное число.

Наконец, предельные переходы, используемые при определении иррациональных чисел, можно использовать для того, чтобы, основываясь на информации о том, какие рациональные числа "положительны" и какие "отрицательны", определить, является ли данное иррациональное число, принадлежащее вполне упорядоченному полю действительных чисел, "положительным" или "отрицательным".

В нашей книге мы не будем детально рассматривать иррациональные числа; читателю, заинтересовавшемуся этим вопросом, мы можем порекомендовать книгу И. Нивена, "Числа рациональные и иррациональные.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru