§ 7. «Положительные» и «отрицательные» числа

Теперь вы можете убедиться в силе аксиом I и II. Вам, может быть, будет забавно узнать, что, исходя из них, вы можете определить, какое из неравных нулю действительных чисел относится к множеству положительных чисел и какое относится к множеству отрицательных чисел, как будто вы этого уже не знали раньше!

Чтобы показать это, будем брать слова "положительное" и "отрицательное" в кавычки, отмечая тем самым, что информация о характере соответствующих чисел не известна нам заранее, а получена из аксиом.

Начнем с числа Так как то из теоремы следует, что Таким образом, "положительно". Но

так что 1 — "положительное" число.

Положим, далее, Так как мы только что установили, что 1 — "положительное" число, и так как то из аксиомы II, утверждающей, что сумма двух "положительных" чисел "положительна", следует, что

2 — "положительное" число.

Пусть теперь Тогда таким образом, произведение "положительного" числа 2 и числа а — "положительное" число 1. Но если бы а было "отрицательным", то на основании теоремы 1 произведение 2 и а было бы "отрицательным". Поэтому а должно быть "положительно".

Таким образом, числа 1, 2, 1/2 "положительны", и, следовательно, в силу табл. 1 числа —1, —2, —1/2 "отрицательны".

Продолжая, мы можем показать, что целые числа 3, 4 и т. д., дроби 1/3, 1/4 и т. д. и дроби 2/3, 4/3, 3/4, 5/4 и т. д. "положительны" и соответственно что —3, —4, — 1/3 и т. д. "отрицательны". Итак, мы можем определить, будет ли "положительным" или "отрицательным" любое неравное нулю рациональное число.

Наконец, предельные переходы, используемые при определении иррациональных чисел, можно использовать для того, чтобы, основываясь на информации о том, какие рациональные числа "положительны" и какие "отрицательны", определить, является ли данное иррациональное число, принадлежащее вполне упорядоченному полю действительных чисел, "положительным" или "отрицательным".

В нашей книге мы не будем детально рассматривать иррациональные числа; читателю, заинтересовавшемуся этим вопросом, мы можем порекомендовать книгу И. Нивена, "Числа рациональные и иррациональные.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)