§ 8. Неравенство треугольника

Неравенство (3.6), фигурирующее в нижеследующей теореме 2 (выше мы уже упоминали один раз про эту теорему) в силу геометрических соображений, которые будут рассмотрены ниже в гл. IV, часто называют "неравенством треугольника.

Сформулируем теперь полностью эту теорему. Теорема 2. Для всех действительных чисел

При этом равенство имеет место в том и только том случае, когда т. е. тогда и только тогда, когда или оба числа а и 0, или оба они

Например, если то

в то время как

Но если то

и

В справедливости неравенства (3.6) нас убеждает наша интуиция — достаточно обратить внимание на то, что если имеют противоположные знаки, то в правой части неравенства числа "гасят друг друга", что приводит к уменьшению их суммарной величины, в то время как в левой части числа "подкрепляют друг друга", будучи одного знака.

Эти же соображения убеждают нас в справедливости неравенства

в котором опять равенство достигается тогда и только тогда, когда (т. е. когда или оба числа или оба они Здесь, напротив, в правой части неравенства числа обязательно "гасят друг друга", в то время как в левой части неравенства они иногда "действуют согласованно", увеличивая суммарную абсолютную величину (так будет обстоять дело в том случае, когда имеют противоположные знаки).

Используя алгебраическое определение абсолютной величины, нетрудно доказать неравенства (3.6)

и (3.7). Так, неравенство (3.6) можно записать следующим образом:

Далее, неравенство (3.8) эквивалентно

т. е. справедливость каждого из неравенств (3.8) и (3.9) следует из правильности другого неравенства: (3.9) получается из (3.8) при возведении последнего неравенства в квадрат (см. теорему 5 гл. II, стр. 26), а (3.8) получается из (3.9) извлечением квадратного корня из обеих частей (см. теорему 7 гл. II, стр. 30).

Но неравенство (3.9) можно переписать так:

или, что равносильно, в виде

Здесь мы используем правила сложения и вычитания неравенств, а также правил? умножения неравенства на положительное число. Но

так что (3.10) эквивалентно

Таким образом, неравенство (3.6) эквивалентно (3.11). А само соотношение (3.11) справедливо на основании теоремы 1 этой главы (стр. 42), утверждающей, что всякое действительное число меньше своей абсолютной величины или равно ей. Знак равенства в формуле (3.11) имеет место тогда и только тогда, когда Следовательно, эквивалентное неравенству (3.11) неравенство (3.6) также справедливо и равенство в нем имеет место тогда и только тогда, когда

Неравенство (3.7) может быть доказано аналогичным образом после того, как будет представлено в равносильном ему виде

Однако интересно отметить, что неравенство (3.7) также может быть выведено непосредственно из формулы (3.6). В самом деле, подставив в нее вместо произвольного действительного числа а действительное число а получим

или

откуда

на основании теоремы 4 гл. II (правила вычитания) неравенств. Аналогично подстановка а вместо в формулу (3.6) дает

или

откуда

Так как

то из неравенств (3.12) и (3.13) следует, что

Следовательно, соотношение (3.7) справедливо, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда он имеет место в одном из неравенств (3.12) или (3.13).

Поскольку при выводе формулы (3.12) вместо а было подставлено то равенство в ней будет достигаться в том и только том случае, когда т. е. когда Последнее же неравенство имеет место в том и только том случае, когда Аналогично равенство в формуле (3.13) будет иметь

место тогда и только тогда, когда т. е. когда Последнее же условие выполняется в том и только том случае, когда и Наконец, из того, что одно из неравенств и всегда имеет место, следует, что равенства в (3.7) будут достигаться тогда и только тогда, когда

Следует отметить, что, так как представляет собой произвольное действительное число — положительное, нуль или отрицательное, неравенства (3.6) и (3.7) будут справедливы и в том случае, если заменить на При этом неравенство (3.6) принимает вид

а неравенство (3.7) — вид

при этом знак равенства в формулах (3.14) и (3.15) будет достигаться тогда и только тогда, когда а т. е. Неравенства (3.6), (3.7), (3.14) и (3.15) вместе могут быть записаны так:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)