ГЛАВА III. Абсолютная величина числа

§ 1. Введение

В гл. I этой книги неравенство было определено, как мы помним, в терминах множества положительных чисел. Напомним также, что для справедливости отдельных результатов гл. II, например теоремы 5, касающейся умножения неравенств, было необходимо потребовать положительности некоторых чисел, фигурирующих в условиях теоремы. В теореме 7 той же главы появляются степени с дробными показателями, которые иногда могут не оказаться даже действительными числами, если не оговорить положительности числа, возводимого в дробную степень; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть, например, для Многие из основных неравенств, которые выводятся в гл. IV, содержат такие степени с дробными показателями. Естественно, что и далее мы часто будем ограничиваться рассмотрением положительных чисел или неотрицательных чисел (т. е. положительных чисел и числа нуль).

В прикладных проблемах, в которых приходится рассматривать неравенства, часто имеют дело с весом, объемом и т. п., с модулем или абсолютной величиной таких математических объектов, как действительные числа, комплексные числа, векторы. Все эти величины измеряются неотрицательными числами. Так, если даже условиться обозначать выигрыши положительными числами, а проигрыши отрицательными числами, то все же будет естественно сказать, что проигрыш в три доллара больше, чем проигрыш в два доллара — и это несмотря на то, что число —3 меньше, чем —2. При этом мы имеем в виду,

что абсолютная величина числа —3 больше абсолютной величины числа —2.

В этой главе мы дадим определение абсолютной величины действительного числа и изучим некоторые ее свойства для применения их к неравенствам в следующих главах. Мы также приведем графики некоторых интересных и достаточно часто встречающихся функций, содержащих абсолютную величину, и изложим некоторые относящиеся к ним новые идеи.

§ 2. Определение

Абсолютная величина действительного числа а, обозначаемая через может быть определена различными способами. Мы здесь рассмотрим некоторые из возможных определений этого понятия.

Определение. Абсолютная величина действительного числа а определяется как число а, если а положительно или равно нулю, и как число , если а отрицательно.

Так, например,

Принципиальная невыгодность только что приведенного определения заключается в том, что оно не подходит для алгебраических преобразований. Так, например (см. теорему 2 настоящей главы), для любых чисел

что можно проверить, рассматривая отдельно различные возможные случаи: числа оба положительны, одно из чисел положительно, а второе отрицательно; оба числа отрицательны; одно из чисел равно нулю, а второе положительно; одно из чисел равно нулю, а второе отрицательно; оба числа равны нулю. Однако предпочтительнее дать единый вывод, охватывающий все случаи и имеющий чисто алгебраический характер; такой вывод будет дан в § 8 после того, как будут приведены различные определения абсолютной величины, эквивалентные данному выше определению. Эти новые определения будут основываться на понятиях квадрата числа и квадратного корня из числа.

Приведенное выше определение абсолютной величины можно перефразировать следующим образом:

Абсолютная величина действительного числа а равна 0, если во всех же остальных случаях есть положительный элемент множества .

Так, если то есть положительный элемент множества т.е. 2. Если то есть положительный элемент множества т. е. снова 2. Однако этой характеристике символа присущи те же неудобства, что и предыдущей.

§ 3. Специальные символы

Последующие два определения числа связаны с двумя специальными символами: Значение этих символов мы сейчас и объясним.

Символ обозначает наибольший элемент множества действительных чисел.

Если множество содержит только один или только два элемента, мы все же будем говорить о "наибольшем" из его элементов. Если наибольшее значение имеют несколько элементов множества, то любой из них считается наибольшим. Так,

После некоторой тренировки можно научиться производить те или иные арифметические операции над выражениями, содержащими символ

Так, например,

В частности, рассмотрим если то

если то

если то

и т. д. Таким образом, для любых а

так что соотношение (3.1) можно принять за еще одно определение

Перейдем теперь ко второму специальному символу. Символ обозначает наибольший элемент множества если по крайней мере один из его элементов неотрицателен; если же все элементы множества отрицательны, то этот: символ означает число 0. Так,

Как и в случае символа можно производить арифметические действия с выражениями, содержащими символ хотя это и представляет известные неудобства. Так, например,

Как показывают рассмотренные примеры, символы не эквивалентны. Действительно, легко можно видеть, что

Отсюда следует, что

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда множество содержит по крайней мере один неотрицательный элемент.

А так как множество при любом значении а содержит неотрицательный элемент, то при любом значении а

Таким образом, равенство

также можно рассматривать как определение величины

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

§ 4. Графические рассмотрения

Графическое изображение может дать поразительно яркую картину поведения функции независимо от того, имеем ли мы дело со средней суточной температурой, колебаниями рынка сбыта, величиной или с чем-нибудь еще. Самым важным здесь является то, что график позволяет нам с одного взгляда усмотреть некоторые общие свойства функции, которые при иных способах ее изучения могли бы остаться скрытыми.

Например, значение символов становится более понятным при рассмотрении изображенных на рис. 2 и 3 графиков функций

и

Пунктирными линиями на рис. 2 и 3 продолжены графики функций

Построим теперь график функции который дает наглядную характеристику понятия абсолютной величины. Для наших целей достаточно ограничиться неполным графиком, отвечающим интервалу

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

При построении этого графика сначала полезно и интересно рассмотреть график функции т. е. множество упорядоченных пар действительных чисел где а также график функции Эти графики изображены на рис. 4 и 5. Из этих графиков и определения

сразу следует, что график функции совпадает с графиком как это показано на рис. 6. Мы должны выбирать на рис. 4 и 5 большую из ординат отвечающих данной абсциссе Эта большая

ордината и служит ординатой у на графике, изображенном на рис. 6. Например, при большей ординатой будет при большей ординатой будет

Рис. 4. График функции

Рис. 5. График функции

На рис. 7 изображен график функции Рассматривая четыре графика, изображенные на рис. 4—7, мы заметим, что для любого значения абсциссы все четыре ординаты не меньше — и не больше

Рис. 6. График функции

Рис. 7. График функции

Поэтому из рис. 4, 6 и 7 можно сделать следующий вывод, который вы, безусловно, смогли бы заметить и доказать вообще без рассмотрения графиков:

Теорема 1. Для каждого действительного числа а

При этом первый знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а второй — тогда и только тогда, когда .

Теорема 1 следует, например, из того, что если или и если или а также из того факта, что всякое положительное число больше любого отрицательного числа (см. упр. 8 в гл. I).

Рассмотрим теперь в качестве упражнений графики некоторых более сложных функций, содержащих абсолютную величину.

Начнем с графика функции

Для имеем следовательно,

но при получаем так что

График этой функции, изображенный на рис. 8, легко построить, также исходя из указанных на рис. 4 и 6

Рис. 8. График функции

графиков, принимая за ординату для каждой абсциссы среднее значение ординат

Легко видеть, что график, изображенный на рис. 8, можно рассматривать так же, как график функций или как график функции самом деле,

для любых значений

Рис. 9. График функции

Рассмотрим теперь график функции

в интервале При члены правой части уравнения (3.2) могут быть записаны следующим образом:

так что при мы имеем

При первые два члена в правой части уравнения (3.2) могут быть записаны, как и прежде, но

(Можете вы объяснить, почему?) Соответственно этому при

Аналогично при

и при

Таким образом, уравнение (3.2) в рассмотренных интервалах сводится к разным линейным уравнениям. Вычерчивая отрезки прямых, лежащие в соответствующих интервалах, мы получим непрерывный график (см. рис. 9).

Упражнения

(см. скан)