§ 2. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом

а) Математический эксперимент. Даны два неотрицательных числа, скажем 1 и 2. Образуем их "среднее" следующими двумя способами: возьмем их среднее арифметическое (или полусумму), которое иногда называют просто "средним":

и среднее геометрическое (корень квадратный из их произведения):

Заметим, что Аналогично, если мы начнем с чисел 3 и 9, то их среднее арифметическое будет равно а среднее геометрическое Отметим, что Действуя таким же образом с различными парами неотрицательных чисел, выбранными наугад, допустим с числами 11 и 13, 1/2 и 1/4 и т. д., мы заметим, что в каждом случае среднее арифметическое этих чисел больше их среднего геометрического.

В праве ли мы, без риска ошибиться, обобщить эти наблюдения и сделать определенные выводы? Математическое чутье подсказывает нам, что мы, возможно, напали на след теоремы. Может быть, этот результат имеет место для всех пар неотрицательных чисел! Иными словами, мы можем предположить, что среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел во всяком случае не меньше их среднего геометрического. Выразим это предположение при помощи алгебраических символов; ниже, в мы убедимся в его истинности. Итак, сформулируем следующее утверждение:

Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического, т. е.

Равенство имеет место в том и только том случае, когда

Отметим, что если бы одно из двух чисел было положительным, а другое отрицательным, то соотношение (4.1) не имело бы смысла, так как его правая часть была бы мнимой. Если бы оба числа были отрицательными, то левая часть неравенства (4.1) была бы отрицательной, а правая — положительной, и теорема была бы неверной.

Математический эксперимент, который привел нас к теореме 1, представляет собой пример метода "проб и ошибок", часто используемого математиками, чтобы выявить ту или иную закономерность. Раньше это было очень трудоемкой работой. В наше же время, когда для математического экпериментирования приспособлены современные цифровые вычислительные машины, мы можем за несколько часов провести тысячи и миллионы проб. Таким образом, в наших руках оказываются драгоценные ключи к установлению математических истин.

Упражнения

(см. скан)

б) Доказательство теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел. Поскольку квадратный корень — это такой математический объект, который может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив

что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа неотрицательны. При этом соотношение (4.1), в

справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел мы хотим убедиться, примет следующий вид:

где произвольные действительные числа. Неравенство (4.3) имеет место в том и только том случае, когда

что в силу основных правил, относящихся к неревенствам, равносильно тому, что

Здесь мы встретились с нашим старым знакомым, а именно с выражением

Итак, (4.5) равносильно

Так как на основании теоремы 3 гл. I квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4.7) всегда имеет место. Таким образом, неравенство (4.5) всегда справедливо, а следовательно, справедливы и неравенства (4.4), (4.3) и (4.1). Равенство в формуле (4.7), а значит, и в формуле (4.1) достигается в том и только в том случае, когда т. е. или, иначе говоря, тогда и только тогда, когда

Отметим, что, в то время как неравенство (4.1) теоремы 1 выполняется только для неотрицательных чисел приведенное доказательство показывает, что неравенство (4.3) имеет место для любых действительных чисел (причем равенство достигается в том и только том случае, когда Мы увидим в дальнейшем, что выводы § 4 и 6 этой главы также справедливы не только для неотрицательных, но и для любых действительных чисел. Этот факт позволяет дать полученным результатам более общее геометрическое истолкование.

в) Геометрическое доказательство. Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести также геометрически путем простого сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции изображенный на рис. 17. Пусть 5 и точки прямой с координатами и Рассмотрим также указанные на рис. 17 точки Так как длина отрезка равна с, то длина отрезка также равна с.

Рис. 17. Геометрическое доказательство неравенства

Поэтому площадь треугольника полупроизведение длин его основания и высоты, равна Аналогично площадь треугольника равна

Рассмотрим теперь прямоугольник Он полностью покрывается треугольниками и так что

Так как площадь прямоугольника произведение длин его основания и высоты — равна то при помощи алгебраических символов соотношение (4.8) можно записать так:

Неравенство (4.9) совпадает с неравенством (4.3); таким образом, наше геометрическое доказательство завершено.

Кроме того, легко видеть, что равенство достигается только тогда, когда площадь треугольника равна нулю, что возможно только при совпадении точек т. е. когда

г) Геометрическое обобщение. Нетрудно видеть, что вышеизложенные соображения сохраняют силу и в том случае, когда кривая не является прямой линией. Рассмотрим рис. 18; и в этом случае, очевидно,

Когда вы изучите интегральное и дифференциальное исчисления и познакомитесь с приемами вычисления площадей, ограниченных графиками простых функций, таких, например, как при произвольном положительном а, вы увидите, что таким путем получается ряд интересных неравенств.

Рис. 18. Более общий случай.

В следующих параграфах настоящей главы мы получим некоторые из этих неравенств другим способом.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

д) Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех чисел. Продолжим наш математический эксперимент. Возьмем три неотрицательных числа, скажем 1, 2 и 4, и образуем их среднее арифметическое подобно тому, как мы это делали раньше;

Вычислим также их среднее геометрическое, т. е. корень кубичный из их произведения

Мы видим, что среднее арифметическое этих трех чисел больше их среднего геометрического. Произведя аналогичный опыт для других произвольно выбранных троек неотрицательных чисел, мы убедимся, что результат во всех случаях будет таким же. Естественно возникает подозрение, что мы напали на новую теорему. Действительно, может быть, существует обобщение теоремы -вывод, утверждающий, что среднее арифметическое трех неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического? Теперь докажем, что в самом деле имеет место

Теорема 2. Среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел с не меньше их среднего геометрического, т. е.

Равенство достигается в том и только том случае, когда

С целью исключить из рассмотрения кубический корень положим

Подставляя эти значения и с в неравенство (4.11), получаем

что равносильно следующему неравенству:

Мы докажем теорему 2, если установим, что неравенство (4.14) имеет место для произвольных неотрицательных чисел х, у, z.

Здесь мы снова получили выражение, которое можно разложить на множители. Это разложение на множители

не так известно, как предыдущее, однако оно часто оказывается полезным. Мы утверждаем, что

проверить это можно непосредственно путем умножения.

Так как - неотрицательное число, то первый множитель в правой части (4.15) положителен (если не равны нулю одновременно). Поэтому, чтобы доказать справедливость неравенства (4.14), достаточно показать, что второй множитель также неотрицателен, т. е. что

Неравенство (4.16) можно следующим образом вывести из неравенства уже использованного нами при алгебраическом доказательстве теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел (см. п. 6) этого параграфа). Выпишем три неравенства

и сложим их почленно:

Таким образом, мы получили неравенство, равносильное требуемому неравенству (4.16). Равенство достигается тогда и только тогда, когда

Поскольку справедливо неравенство (4.16), а также то левая часть (4.15) также т. е. неравенство (4.14) имеет место. Но неравенство (4.14) равносильно (4.11). Мы, таким образом, доказали теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех чисел. Условие при котором достигается равенство в (4.14), а следовательно, и в (4.11), равносильно условию

е) Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел. Ободренные достигнутыми успехами, предположим, что

результаты, которые мы установили для двух и для трех чисел, являются только частными случаями общей теоремы, имеющей место для любого числа положительных чисел. Если это предположение правильно, то имеет место

Теорема 3. Среднее арифметическое любых неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического, т. е.

Равенство достигается в том и только том случае, когда

Неравенство (4.19), связывающее среднее арифметическое чисел с их средним геометрическим, хорошо известно и, действительно, всегда имеет место. Мы обратили особое внимание на это неравенство по целому ряду причин. Во-первых, оно поразительно само по себе и притом может быть доказано множеством интересных способов. Имеются буквально десятки различных доказательств теоремы 3, основанных на положениях, вытекающих из самых разнообразных источников. Во-вторых, оно может быть использовано в качестве основной теоремы теории неравенств, в качестве краеугольного камня, на котором покоятся многие другие очень важные заключения. -третьих, как будет показано в пятой главе, некоторые следствия этого неравенства можно использовать для решения ряда интересных задач на максимум и минимум.

Первое, что может прийти в голову при попытке доказать теорему -это продолжить линию, начатую доказательствами теорем 1 и 2, т. е. найти разложение на множители соответствующего выражения для затем для Однако на самом деле этот подход совсем не является привлекательным, он даже вообще невозможен: простых доказательств, в основе которых лежит указанная идея, не существует.

Вместо этого мы приведем простое доказательство, основанное на использовании двух методов математической индукции. Сначала при помощи метода "прямой" индукции мы докажем теорему 3 для всех целых чисел являющихся степенями двойки, т. е. для чисел

Затем мы применим метод «обратной» индукции (от некоторого целого положительного числа а к предшествующему числу который наряду с методом прямой индукции даст нам возможность установить результат для любых целых положительных чисел.

1) Прямая индукция. Первый этап доказательства теоремы 3 демонстрирует технику использования метода математической индукции, рассмотренного нами выша (в § 6 гл. II).

Начнем с результата, относящегося к случаю именно

Это неравенство выполняется при любых значениях неотрицательных чисел в силу теоремы 1. Однако далее нельзя обойтись без некоторой математической смекалки. Существует множество простых доказательств теоремы 3. однако во всех этих доказательствах содержится известная тонкость, требующая удачной догадки. Положим

где неотрицательные числа. Подставляя эти значения чисел в (4.20), получаем неравенство

или

Так как левая часть неравенства (4.21) уже записана в нужной для нас форме (см. теорему 3), то сосредоточим внимание на правой части этого неравенства. Используя неравенства

справедливость которых была уже установлена выше, а также условие транзитивности (теорема 1, гл. получаем из (4.21)

Но ведь это в точности тот результат, который мы хотим получить! Он получен для случая четырех неотрицательных чисел: для среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

Неравенство (4.21) обращается в равенство тогда и только тогда, когда

а (4.22) — тогда и только тогда, когда следовательно, равенство в (4.23) достигается в том и лишь том случае, когда

Ничто не мешает нам повторить тот же трюк. Положим

где все числа неотрицательны. Подставляя эти значения в (4.23), имеем

Воспользовавшись неравенствами

и условием транзитивности, получаем

т. е. требуемый результат для случая восьми чисел. Равенство имеет место в том и только том случае, когда все числа равны между собой.

Очевидно, что, продолжая таким же образом, мы сможем получить аналогичное неравенство для всех чисел

которые являются степенями двух, т. е. для Для строгого вывода теоремы применим метод математической индукции. Основной шаг заключается в доказательстве следующего утверждения:

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом справедлива для всех чисел вида где

Доказательство. Мы уже знаем, что теорема имеет место при т. е. при а также при Предположим, что теорема верна для целого числа имеющего вид и покажем, что она верна и для числа Так как то это означает, что теорема 3 верна для числа Таким образом, мы предполагаем, что неравенство

выполняется для любого множества неотрицательных чисел где Заменим числа выражениями

чисел какие угодно неотрицательные числа. Поступая таким же образом, как и выше, получаем в итоге

Как и раньше, равенство достигается в том и только том случае, когда все числа равны между собой. Таким образом, мы доказали теорему 3 для чисел или для чисел.

Принцип математической индукции (прямой) утверждает, что поскольку неравенство выполняется для то оно выполняется для любого целого положительного числа следовательно, неравенство (4.24) имеет место для любого числа являющегося целой положительной степенью двойки.

2) Обратная индукция. Теперь мы уже доказали, что теорема 3 верна для тех целых чисел, которые являются степенями двух; однако как же нам доказать, что она имеет место для всех целых положительных чисел?

Здесь требуется иная процедура. Рассмотрим случай для которого мы выше уже доказали теорему 3 иным способом. Используя соотношение для

справедливость которого уже была доказана при помощи метода прямой индукции, посмотрим, нельзя ли отсюда получить соответствующий результат для

Мы проведем доказательство, используя важный метод, называемый специализацией. Начнем с соотношения (4.25). Выберем числа следующим образом: положим

и найдем значение из равенства

Перепишем последнее равенство, учитывая (4.26):

откуда

Подставляя эти частные значения в (4.25), получаем

Возводя обе части последнего неравенства в четвертую степень, имеем

после деления полученного выражения на получаем

что равносильно требуемому результату:

Поскольку равенство в (4.25) достигается в том и только том случае, когда то в (4.27) оно достигается тогда и только тогда, когда

С целью распространить этот метод на общий случай мы используем прием, характерный для доказательств по индукции, однако прием нестандартный. Вместо того чтобы доказывать, что если результат справедлив для чисел, то он справедлив и для чисел, мы докажем, что результат справедлив для чисел, если он справедлив для чисел. Поскольку мы уже доказали теорему для всех чисел вида то этог метод позволит нам завершить доказательство теоремы.

Покажем, что если теорема 3 справедлива для чисел, то она справедлива и для чисел. Для этого повторим тот же прием специализации, который мы уже применили выше. Положим

и определим из условия

Учитывая (4.28) и решая последнее уравнение относительно получаем

Мы предположили, что неравенство

выполняется для неотрицательных чисел

Подставляя значения из (4.28) и (4.29), имеем

Возводя обе части в степень и сокращая, получаем неравенство

что эквивалентно требуемому результату

Как и раньше, равенство достигается в том и только том случае, когда таким образом, доказательство теоремы 3 полностью завершено.