§ 3. Основные аксиомы учения о неравенствах

Нижеследующие простые предложения, касающиеся множества положительных чисел, не доказываются; поэтому они называются аксиомами. Интересно отметить, что это единственные предложения, на базе которых (наряду с обычными алгебраическими свойствами системы действительных чисел) может быть развита вся теория неравенств.

Аксиома Если а — действительное число, то справедливо одно и только одно из следующих утверждений: а — единственный элемент множества — элемент множества положительных чисел; - элемент множества

Аксиома II. Если элементы множества положительных чисел, то их сумма и их произведение также элементы множества

Три исключающие друг друга возможности, перечисленные в аксиоме I, устанавливают следующие отношения между произвольным действительным числом а и противоположным ему числом — а: если а нуль, то —а тоже нуль, как уже было отмечено; если а положительно, то — а отрицательно на основании данного выше определения отрицательного числа; наконец, если —а положительно, то должно быть отрицательно опять-таки по определению отрицательного числа. Таким образом, пары противоположных чисел а и — а распределяются по множествам так, как показано в табл. 1.

При геометрическом представлении чисел (рис. 1) точки, изображающие а и —а, либо совпадают с точкой, изображающей нуль, либо лежат по разные стороны от этой точки.

Таблица 1 (см. скан) Распределение пар взаимно противоположных чисел