§ 3. Обобщение теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Здесь мы покажем, что многие результаты, которые кажутся обобщениями выведенной выше основной теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом, в действительности являются ее частными случаями.

В первую очередь положим, что первые чисел в неравенстве

равны некоторому неотрицательному числу а остальные чисел — неотрицательному числу у, т. е. что

В этом случае теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел примет вид

или

Здесь любое целое число, целое число, значения которого заключены в пределах . Отсюда следует, что число может быть любой рациональной

дробью принадлежащей интервалу Теперь последнее неравенство можно переписать так:

Этот результат впоследствии нам неоднократно понадобится.

Неравенство (4.30) имеет место для любых неотрицательных чисел х и у и для любой дроби значения которой заключены между и 1. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда

Обозначим число через поскольку то Отсюда

Пусть тогда и

В этих обозначениях неравенство (4.30) принимает вид

С целью исключить из рассмотрения дробные показатели степени положим

При этом неравенство (4.31) принимает вид

где неотрицательные числа, а такие рациональные числа, что Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда

Если считать известными понятия иррационального числа и степенной функции где показатель степени иррационален, то можно показать [непосредственно или при помощи предельного перехода, примененного к неравенству (4.30)], что это неравенство справедливо для любых

(рациональных или иррациональных!) значений заключенных между и 1, и что поэтому неравенство (4.33) выполняется при любых и 1, удовлетворяющих условию

Если вы захотите продолжить изучение этого вопроса, то прочтите сначала книгу И. Нивена «Числа рациональные и иррациональные», на которую мы уже ссылались в гл. I.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)