§ 8. Абсолютная величина числа и классические неравенства

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом, неравенства Коши и Гёльдера, неравенство треугольника и неравенство Минковского являются классическими неравенствами математического анализа. Для удобства они сведены в табл. 3 (см. стр. 94).

Эти неравенства имеют место для любых последовательностей неотрицательных чисел при произвольном и при

Неравенство Коши и неравенство треугольника составляют частные случаи неравенств Гёльдера и Минковского, в которые последние обращаются при теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа равны собой; в остальных же неравенствах — тогда и только тогда, когда последовательности неотрицательных чисел пропорциональны.

Рассмотренные неравенства относятся к неотрицательным числам. Однако абсолютная величина любого действительного числа неотрицательна, и поэтому эти неравенства в частности применимы к абсолютным величинам произвольных действительных чисел. Этот вывод можно расширить, используя теорему 2 гл. III, согласно которой сумма абсолютных величин двух чисел не меньше

абсолютной величины их суммы. Так, в применении к неравенству Минковского мы имеем

причем неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда числа имеют одинаковый знак. В табл. 4 (см. стр. 95) приведены неравенства в том более общем виде, о котором здесь идет речь.

Эти неравенства, имеющие место для произвольных действительных чисел обращаются в равенство в следующих случаях: теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом — тогда и только тогда, когда все числа имеют одну и ту же абсолютную величину, остальные неравенства — тогда и только тогда, когда последовательности чисел пропорциональны, причем коэффициент пропорциональности неотрицателен.

Приведем пример, иллюстрирующий применение неравенства Минковского. Даны последовательности чисел

Положим

Тогда

и общее неравенство Минковского примет вид

Равенство достигается тогда и только тогда, когда последовательности чисел и пропорциональны, причем коэффициент пропорциональности неотрицателен.

(см. скан)

(см. скан)