§ 6. Упрощенный вариант пространственной задачи Дидоны

Перейдем к рассмотрению задачи, заключающейся в определении прямоугольной коробки наибольшего объема при заданной площади ее поверхности (рис. 30).

Обозначив ребра коробки соответственно через мы заключим, что ее объем V и площадь поверхности А равны

и

Нам дано А и требуется определить, при каких значениях х, у и z объем коробки V принимает наибольшее возможное значение.

Рис. 30. Трехмерный случай упрощенной задачи Дидоны.

Решение этой задачи снова сводится к применению теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Учитывая, что это три неотрицательных числа, имеем

Равенство здесь, как нам известно, достигается тогда и только тогда, когда

что имеет место в том и только том случае, когда

Так как

то неравенство (5.8) означает, что

Отсюда следует, что объем прямоугольной коробки данной площади поверхности А не превышает величину и что эта величина достигается тогда и только тогда, когда

Таким образом, прямоугольная коробка, объем которой при данной поверхности максимален, будет иметь форму куба. И наоборот, прямоугольная коробка минимальной поверхности, ограничивающая данный объем, будет кубом. Здесь мы снова видим взаимное соответствие между двумя взаимно обратными задачами.

Упражнения

(см. скан)