§ 4. Умножение на число

Теорема 3. Если то Если то

Более общо: если то причем в том и только том случае, когда

Если то причем в том и только том случае, когда

Таким образом, при умножении обоих членов неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное число меняется на обратный.

В частности, при получаем: если то

Например, если мы умножим обе части неравенства на 1 или на —1, то мы получим или соответственно

Доказательство. Нам дано, что так что или Если то из аксиомы II следует, что с или т.е. Если же то из теоремы 1 гл. 1 следует, что или Отсюда или так что

Во всех случаях знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда