§ 8. Богатый футболист

Рассмотрим сходную, но несколько более сложную задачу.

Некий футболист отказался от подвигов на футбольном поле ради положения в обществе. С течением времени, став владельцем многих акций, он разбогател. Будучи сентиментальным (что свойственно многим отставным футболистам), он завещал, чтобы его похоронили в склепе, имеющем форму гигантского футбольного мяча. Его душеприказчики, уважая последнее желание усопшего, столкнулись с необходимостью выполнить его самым экономным образом.

После некоторых размышлений они решили, что математическая задача, наиболее близко приближающаяся к ситуации, с которой они встретились, заключается в том,

чтобы описать около прямоугольного параллелепипеда данных размеров эллипсоид наименьшего возможного объема.

Рассуждая так же, как мы в предыдущих задачах, они начали с решения обратной задачи: вписать в данный эллипсоид прямоугольный параллелепипед наибольшего возможного объема.

Рис. 32. Восьмая часть параллелепипеда, вписанного в эллипсоид.

В пространственной аналитической геометрии устанавливается, что эллипсоид, центр которого совпадает с началом координат, а оси направлены по осям координат, записывается уравнением

где оси эллипсоида. Интуитивно ясно, что центр вписанного прямоугольного параллелепипеда будет совпадать с началом координат, а его ребра будут параллельны осям координат. Таким образом, если одна из вершин параллелепипеда с координатами

принадлежит поверхности эллипсоида (см. рис. 32, на котором изображена восьмая часть эллипсоида), то остальные семь вершин должны быть расположены симметрично. Это означает, что координаты остальных семи вершин параллелепипеда определяются следующим образом:

Так как ребра параллелепипеда имеют длину то его объем равен

Задача, которая стоит перед нами, заключается в нахождении максимального значения величины (5.11) при условии, что числа х, у и z удовлетворяют условию (5.10).

И эта задача также легко решается с помощью теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Мы имеем

Учитывая, что х, у и z удовлетворяют условию (5.10), и используя выражение (5.11) для V, мы видим, что из неравенства (5.12) следует

или

Отсюда вытекает, что наибольший возможный объем параллелепипеда равен кроме того, в силу условий равенства в (5.12) этот объем достигается тогда и только тогда, когда

или

Это и есть искомые размеры параллелепипеда, вписанного в данный эллипсоид с полуосями

Вернемся теперь к прямой задаче. Мы видели, что для данных с выражения (5.13) для х, у, z доставляют половины длин ребер прямоугольного параллелепипеда максимального объема. Но можно ли заключить отсюда, что для заданных величин значения

отвечают минимальному объему описанного эллипсоида? Были ли душеприказчики футболиста достаточно проницательными или им просто повезло, но так или иначе, они были правы, следуя своему математическому чутью. Действительно, вот доказательство:

Объем эллипсоида (5.10) определяется формулой

Даны положительные числа х, у, z. Нужно найти такие значения положительных чисел удовлетворяющих уравнению (5.10), чтобы объем эллипсоида принимал минимальное значение.

Чтобы установить взаимное соответствие между прямой и обратной задачами, можно поступить следующим образом. Так как нам теперь известны числа а нужно определить числа то мы "обратим" и алфавит, положив

При этом уравнение (5.10) заменится следующим:

или

Требуется найти такие числа удовлетворяющие условию для которых величина

имеет минимальное значение. Так как коэффициент постоянен, то нахождение минимума сводится к нахождению минимума произведения

что в свою очередь равносильно определению максимума величины

Но ведь это как раз та задача, которую мы уже решили, а именно задача определения параллелепипеда наибольшего возможного объема, вписанного в данный эллипсоид! Неважно, что этот эллипсоид (5.100 и параллелепипед объема (5.110 в действительности не имеют никакого отношения к нашему футболисту; проведенное рассуждение позволяет оттенить роль чисто математического анализа задач. Решение выглядит так с равенствами (5.13)]:

Подставляя (5.15) в (5.130, получаем (5.13) и (5.14).

Полагая (что достаточно реально) длину параллелепипеда равной футам, его ширину равной 2 футам, а высоту равной 1 футу, мы получим следующие размеры описанного вокруг параллелепипеда эллипсоида минимального объема:

В эллиптическом склепе (в силу его искривленности) нашлось бы достаточно места и для нескольких изношенных футбольных мячей, которые составили бы компанию нашему герою футбольного поля на месте его успокоения.