Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Богатый футболистРассмотрим сходную, но несколько более сложную задачу. Некий футболист отказался от подвигов на футбольном поле ради положения в обществе. С течением времени, став владельцем многих акций, он разбогател. Будучи сентиментальным (что свойственно многим отставным футболистам), он завещал, чтобы его похоронили в склепе, имеющем форму гигантского футбольного мяча. Его душеприказчики, уважая последнее желание усопшего, столкнулись с необходимостью выполнить его самым экономным образом. После некоторых размышлений они решили, что математическая задача, наиболее близко приближающаяся к ситуации, с которой они встретились, заключается в том, чтобы описать около прямоугольного параллелепипеда данных размеров эллипсоид наименьшего возможного объема. Рассуждая так же, как мы в предыдущих задачах, они начали с решения обратной задачи: вписать в данный эллипсоид прямоугольный параллелепипед наибольшего возможного объема.
Рис. 32. Восьмая часть параллелепипеда, вписанного в эллипсоид. В пространственной аналитической геометрии устанавливается, что эллипсоид, центр которого совпадает с началом координат, а оси направлены по осям координат, записывается уравнением
где принадлежит поверхности эллипсоида (см. рис. 32, на котором изображена восьмая часть эллипсоида), то остальные семь вершин должны быть расположены симметрично. Это означает, что координаты остальных семи вершин параллелепипеда определяются следующим образом:
Так как ребра параллелепипеда имеют длину
Задача, которая стоит перед нами, заключается в нахождении максимального значения величины (5.11) при условии, что числа х, у и z удовлетворяют условию (5.10). И эта задача также легко решается с помощью теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Мы имеем
Учитывая, что х, у и z удовлетворяют условию (5.10), и используя выражение (5.11) для V, мы видим, что из неравенства (5.12) следует
или
Отсюда вытекает, что наибольший возможный объем параллелепипеда равен
или
Это и есть искомые размеры параллелепипеда, вписанного в данный эллипсоид с полуосями Вернемся теперь к прямой задаче. Мы видели, что для данных
отвечают минимальному объему описанного эллипсоида? Были ли душеприказчики футболиста достаточно проницательными или им просто повезло, но так или иначе, они были правы, следуя своему математическому чутью. Действительно, вот доказательство: Объем
Даны положительные числа х, у, z. Нужно найти такие значения положительных чисел Чтобы установить взаимное соответствие между прямой и обратной задачами, можно поступить следующим образом. Так как нам теперь известны числа
При этом уравнение (5.10) заменится следующим:
или
Требуется найти такие числа
имеет минимальное значение. Так как коэффициент
что в свою очередь равносильно определению максимума величины
Но ведь это как раз та задача, которую мы уже решили, а именно задача определения параллелепипеда наибольшего возможного объема, вписанного в данный эллипсоид! Неважно, что этот эллипсоид (5.100 и параллелепипед объема (5.110 в действительности не имеют никакого отношения к нашему футболисту; проведенное рассуждение позволяет оттенить роль чисто математического анализа задач. Решение выглядит так
Подставляя (5.15) в (5.130, получаем (5.13) и (5.14). Полагая (что достаточно реально) длину параллелепипеда
В эллиптическом склепе (в силу его искривленности) нашлось бы достаточно места и для нескольких изношенных футбольных мячей, которые составили бы компанию нашему герою футбольного поля на месте его успокоения.
|
1 |
Оглавление
|