§ 7. Треугольник максимальной площади, имеющий заданный периметр

Рассмотрим теперь задачу определения треугольника максимальной площади, имеющего заданный периметр. Пусть полупериметр треугольника, изображенного на рис. 31, т. е. пусть

Хорошо известно, что площадь А треугольника определяется формулой

Требуется найти максимальное значение площади при условии, что х, у и z могут принимать любые положительные значения, такие, что

где заданное число.

Рис. 31. Задача Дидоны для треугольника.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом поможет довольно просто решить и эту задачу. Для трех неотрицательных чисел имеем

Следовательно,

После несложных преобразований из (5.9) получаем

где неравенство обращается в рааенстзо тогда и только тогда, когда

т. е. тогда и только тогда, когда Следовательно, имеет место

Теорема 1. Из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Заметим, что все результаты, полученные в этой главе, указывают на то, что симметрия и оптимальные свойства тесно связаны между собой. Пожалуй, лучше всего подходит к этому случаю глубокое изречение поэта Китса, относящееся ко всем эстетическим проблемам: "Красота правдива, правда прекрасна".

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)