8.4.2. Характеристики сверточных кодов при наличии случайных стираний

Характеристики сверточных кодов при наличии случайных стираний с интенсивностью вычисляются достаточно несложно [102]. В этом случае каждый символ стирается с вероятностью и все стирания статистически независимы. Таким образом, стирания уменьшают вес кодового слова веса до и вероятность того, что вес будет в точности равна Следовательно, вероятность ошибки для кодового слова веса усредненная по всем наборам случайных стираний, равна

и средняя аддитивная граница для в случае кода с задается в соответствии с (6.11) формулой

которую можно переписать в виде

где

есть средний спектр кода, который задает ухудшение спектра исходного кода, возникающее вследствие случайных стираний.

Существенной особенностью неравенства (8.4) является наличие ненулевого члена с который показывает, что при граница для стремится к остаточному значению, равному или

Это остаточное значение для вероятности ошибки обусловлено ненулевой вероятностью события, состоящего в появлении стираний во всех позициях, в которых два кодовых слова отличаются друг от друга. В этом случае вероятность ошибки равна 1/2.

На основе этих результатов были получены некоторые интересные характеристики ряда кодов. При вероятности случайного стирания, равной вероятность ошибки двоичного символа задается формулами (8.4) и (8.5). Так, кривые, соответствующие стандартному коду с показаны на рис. 8.12 (в предположении, что используется когерентная ФМ).

Ухудшение характеристик в зависимости от (т. е. показано увеличение необходимое для поддержания значения для некоторых интересных кодов в канале со случайными стираниями показано на рис. 8.13. Код с получается из кода с двукратным повторением каждого символа канала. Преимущество кода с состоит в увеличении свободного расстояния от 10 до 20 и, как следствие, — в уменьшении значения задаваемого формулой (8.6). Коды с и 3/4 являются выколотыми. Сравнивая приведенные кривые с кривыми, соответствующими видим, что с уменьшением скорости кода существенно улучшаются характеристики. Это особенно хорошо видно вблизи остаточного значения вероятности ошибки. Так, при нельзя получить значение Даже для кода с осуществляется работа вблизи остаточного значения,

Рис. 8.12. Характеристики кода с при случайных стираниях

Рис. 8.13. Ухудшение характеристик при случайных стираниях

что приводит к ухудшению примерно на Однако при уменьшении скорости до 1/4 ухудшение уменьшается до и это достигается с помощью декодера эквивалентной сложности.

Аналогичных результатов можно достичь, сохранив постоянной скорость кода и увеличив длину кодового ограничения. Соответствующие результаты для также приведены на рис. 8.13. При значениях интенсивности для кодов с и 3/4 получено улучшение характеристик на На этом же рисунке приведена также нижняя граница для ухудшения. Если доля стертых символов равна то энергия принятых сигналов составляет лишь часть той энергии, которая была бы принята в отсутствие стираний. Поэтому энергия принятых сигналов уменьшается на Заметим, что при ухудшение очень близко к определяемому этой границей для значений представляющих практический интерес.

Следует отметить, что зависимости, приведенные на рис. 8.13 и на последующих рисунках, характеризуют ухудшение для заданного кода по сравнению с характеристиками того же кода в отсутствие стираний. Таким образом, при сравнении различных кодов следует учитывать различие их характеристик в отсутствие стираний, как и различие соответствующих ухудшений.

Результаты, приведенные на рис. 8.13, справедливы и для пакетов стираний при использовании псевдослучайного перемежения (с достаточно длинным блоком). Кроме того, при рассмотрении случайных пакетов стираний эти результаты могут применяться для их оценки как при случайных, так и периодических перемежениях.

Аналогичные результаты можно получить и для других методов кодирования и декодирования. Кодовое расстояние длинных блоковых кодов велико, и при хорошем приближении к декодированию по максимуму правдоподобия ухудшение для интересных значений 6 оказывается малым. Например, -код имеет а -код имеет Аддитивные границы для характеристик можно получить точно так же, как и ранее, однако соответствующие вычисления затрудняются тем, что спектр большинства блоковых кодов трудно найти. При использовании сложных каскадных систем ухудшение по сравнению с нижней границей, показанной на рис. 8.13, может оказаться почти незаметным (из-за весьма большого кодового расстояния). Однако во многих случаях такие сложные системы оказываются ненужными.