1.3.3. Характеристики систем обнаружения ошибок

Частным случаем рассмотренных в разд. 3.2 вычислений является вычисление характеристики системы, которая только обнаруживает ошибки. В такой системе не делается попытки исправления ошибок, и таблица на рис. 1.6 состоит из кодовых слов в первой строке и всех остальных слов в той части, которая соответствует обнаружению. Этот метод на протяжении ряда лет используется в ЭВМ и других устройствах, в которых при обнаружении ошибки можно потребовать повторной передачи сообщения.

Вероятность ошибочной последовательности, определяемая формулой (1.20), становится

а вероятность необнаруженной ошибочной последовательности [см. формулу (1.23)] —

Таким образом, вероятность обнаружения ошибочной последовательности (иногда называемая вероятностью выпадения) определяется как

Единственной трудностью при расчете по (1.32) и (1.33) является необходимость знать спектр кода.

Интересным асимптотическим результатом является поведение вероятности обнаружения ошибки -кодом при В этом случае все принятые слова на рис. 1.6 равновероятны и вероятность каждого равна Таким образом, вероятность необнаруженной ошибочной последовательности

при больших значениях разности Кроме того,

Это означает, что, хотя скорость передачи очень мала, вероятность необнаруженной ошибочной последовательности может быть сделана сколь угодно малой при достаточном увеличении числа избыточных символов в каждом кодовом слове. Когда либо спектр кода, либо статистические свойства шума являются неизвестными, формула (1-34) используется для оценки характеристики «по наихудшему случаю». Для хороших кодов пиковое значение (как функции для лежит сравнительно близко к значению, предсказываемому формулой (1.34). Это неверно, однако, для произвольных кодов, и при использовании (1.34) следует соблюдать осторожность.

Реализация системы обнаружения ошибок весьма проста, поскольку нужно лишь проверять, является ли принятое слово одним из кодовых. Любой циклический код, описываемый в гл. 2, хорошо приспособлен для этой цели. В дальнейшем не будем обсуждать этот метод. Основное внимание будет уделено более сложной задаче построения методов исправления ошибок (хотя, как показано на рис. 1.6, некоторые ошибки могут лишь обнаруживаться).

Пример. Предположим, что для передачи по ДСК с вероятностью ошибки используются код и таблица декодирования, приведенные в табл. 1.1, и при декодировании используется полный алгоритм. Поскольку рассматриваемый

код является групповым, вероятность ошибочной последовательности быть вычислена точно с помощью формулы

где второе равенство вытекает из формулы

Аддитивная граница для вероятности ошибочной последовательности легко вычисляется по (1.28) и (1.30). Спектр кода, знание которого необходимо в (1.28), имеет, как видно из списка кодовых слов, вид Таким образом, аддитивная граница

Заметим, что при больших значениях отношения сигнал-шум аддитивная граница равна Как и для оценки характеристики при (т. е. при ) аддитивная граница весьма полезна для более интересных значений (например, при ). Предположим теперь, что тот же код используется лишь для обнаружения ошибок. В этом случае из формулы (1.32) следует, что вероятность необнаружения ошибочной последовательности

Ясно, что вероятность необнаружения при чистом обнаружении существенно меньше, чем при полном декодировании. Заметим, что при вероятность не обнаружения примерно равна при полном декодировании и при обнаружении ошибок.