1.3.2. Аддитивная граница для вероятности ошибки

Этот метод может быть применен к любому блоковому или сверточному коду с декодированием по максимуму правдоподобия. Однако здесь покажем лишь, как он применяется в случае группового кода, используемого для исправления случайных ошибок. Он основан на следующей идее. Если некоторое событие может быть представлено в виде объединения нескольких подсобытий, то вероятность этого события никогда не превосходит суммы вероятностей подсобытий. Эта сумма является, очевидно, границей сверху, поскольку она учитывает вклады, соответствующие пересечению события, больше одного раза. При вычислении вероятности ошибки для группового кода достаточно рассмотреть эффект передачи нулевого кодового слова. Таким образом, вероятность ошибки ограничена сверху суммой вероятностей появления отдельных комбинаций ошибок. Используя введенные обозначения, имеем:

событие расстояние между принятым словом и некоторым кодовым словом веса меньше расстояния между принятым словом и нулевым кодовым словом.

Используя изложенные соображения, можно ограничить сверху вероятность ошибки для декодера максимального правдоподобия следующим образом:

Аналогично средняя вероятность ошибочного бита ограничивается сверху следующим образом:

Эта формула очень похожа на (1.26). Существенное различие состоит в том, что вычисляется суммированием по всем словам, лежащим на расстоянии от данного кодового слова, а суммированием по всем словам, которые отличаются от данного кодового слова веса или менее ненулевых позициях этого кодового слова. Таким образом,

При больших значениях отношения сигнал-шум вклад членов, отвечающих ошибкам веса, большего становится пренебрежимо малым, так что (1.29) и (1.26) дают один и тот же результат. Основное преимущество аддитивной границы состоит в том, что вычисление часто намного проще вычисления особенно в случае мягкого решения. Поскольку декодирование по максимуму правдоподобия является оптимальным, так как оно минимизирует для любого кода, характеристики, вычисленные с помощью аддитивной границы, часто могут рассматриваться как критерий, с которым сравниваются характеристики различных неоптимальных методов декодирования. Единственная возникающая здесь трудность состоит в необходимости знать спектр кода. Хотя спектр многих интересных кодов известен, вычисление спектра произвольного кода обычно является сравнительно трудной задачей.