2. ГРУППОВЫЕ КОДЫ

Групповые коды составляют очень малую часть всех блоковых кодов. Однако, за редкими исключениями, именно групповые коды являются блоковыми кодами, имеющими практическое значение. Групповые коды часто называются также линейными или кодами с обобщенными проверками на четность. В классе всех групповых кодов можно выделить важный большой подкласс, состоящий из так называемых полиномиальных кодов. Примерами полиномиальных кодов являются коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ), коды Рида — Соломона, обобщенные коды Рида — Маллера, проективно-геометрические, евклидово-геометрические и квадратично-вычетные коды. Описание каждого из этих семейств кодов задается указанием алгоритма для его построения. Указанные семейства кодов, вообще говоря, пересекаются, так что некоторый конкретный код может быть одновременно кодом БЧХ и вычетным кодом или обобщенным кодом Рида — Маллера и кодом БЧХ и т. д. Важность полиномиальных кодой обусловлена несколькими причинами. Во-первых, аппаратная реализация кодеров для таких кодов требует лишь сравнительно простых регистров сдвига с обратными связями. Во-вторых, это семейство содержит много кодов, кодовое расстояние которых близко к наилучшему, в особенности при длине блока около 100 или менее. В-третьих, существует несколько алгоритмов декодирования, позволяющих декодировать некоторые из этих кодов с помощью сравнительно несложных устройств.

В начале этой главы мы рассмотрим некоторые общие свойства групповых кодов. Затем мы уделим основное внимание полиномиальным кодам. Для рассмотрения этих кодов придется ввести ряд элементарных понятий теории линейных векторных пространств, групп и полей. В большинстве случаев необходимые математические свойства будут формулироваться без доказательств. Вместо доказательств мы приведем достаточное число примеров и попытаемся убедить среднего читателя с инженерным образованием в справедливости того или иного свойства или утверждения. Такой подход обладает очевидными недостатками. Однако, по мнению авторов, используя его, можно приобрести хорошее «рабочее» понимание теории кодирования. После этого заинтересованный читатель может удовлетворить свое любопытство, вникнув в истину и красоту предмета с помощью одного из нескольких превосходных учебников.

Будем предполагать, что каждое кодовое слово группового кода разбито на две части. Первая часть, состоящая из символов, всегда совпадает с передаваемой информационной последовательностью. Каждый из символов второй части вычисляется как линейная комбинация фиксированного подмножества информационных символов. Поэтому эти символы называются символами обобщенных проверок на четность или просто символами четности. Коды такого типа, в которых информационные символы при кодировании не изменяются, выше назывались систематическими. Можно показать, что любой групповой код можно сделать систематическим на некотором множестве из позиций, выбрав подходящее соответствие между входными последовательностями и кодовыми словами. Это утверждение станет более ясным в дальнейшем. Его значение состоит в том, что, ограничиваясь лишь рассмотрением систематических кодов, мы не исключаем никаких важных групповых кодов. Однако средняя вероятность ошибки при использовании систематического и эквивалентного ему несистематического кодов не должна быть одной и той же. Это также станет более ясным при дальнейшем рассмотрении.