5.8. Замечания
Данная глава была посвящена в основном методам реализации и вычислению характеристик кодов БЧХ, составляющих наиболее известный класс кодов, исправляющих кратные ошибки. При изложении использовалось преобразование Фурье над
конечным полем, поскольку при таком подходе существенно легче продемонстрировать основные свойства кодов БЧХ. Кроме того, в некоторых случаях методы, связанные с такими преобразованиями, оказываются полезными для проведения отдельных этапов декодирования.
Описанные методы могут быть легко реализованы даже при очень высоких скоростях передачи данных. Это в значительной мере обусловлено той легкостью, с которой при алгоритме Берлекэмпа решается ключевое уравнение. Показано также, как решать это уравнение с помощью алгоритма Евклида, поскольку такой подход легче понять и он тесно связан с алгоритмом Берлекэмпа.
При использовании кодов умеренной длины в канале с жестким решением и ФМ можно добиться существенного выигрыша от кодирования 
и более). Такой выигрыш достигается при скоростях 
При очень высоких и очень низких скоростях выигрыш от кодирования существенно уменьшается.
К сожалению, алгебраические методы декодирования не допускают непосредственного обобщения на мягкие решения. Приведенное в разд. 5.5 обобщение, включающее исправление стираний, имеет ограниченные применения для декодирования в гауссовском канале. Однако оно может оказаться весьма полезным в других каналах, например, при наличии интерференции. Эффективное использование мягких решений в настоящий момент возможно, по-видимому, лишь при комбинировании других методов (например, алгоритма Чейза) со стандартным жестким алгоритмом декодирования кодов БЧХ. Другой превосходной возможностью является использование каскадных кодов. В них внутренний код с мягким декодированием объединяется с кодом БЧХ (например, с кодом Рида — Соломона), в котором используется жесткое декодирование. Этот подход будет подробно рассмотрен в гл. 8.
Имеется несколько областей, требующих дополнительных исследований. Одной из них является, конечно, решение задачи мягкого декодирования, о которой только что говорилось. Другая задача состоит в декодировании за пределами границы БЧХ. Рассмотренные в этой главе методы приводят к алгоритмам декодирования с ограниченным расстоянием, при которых обеспечивается исправление всех комбинаций из 
или менее ошибок для кода БЧХ с конструктивным расстоянием 
Можно предложить алгоритмы, которые позволяют исправлять комбинации ошибок веса больше 
однако эти алгоритмы оказываются непрактичными ввиду своей сложности. Наконец, коды БЧХ являются асимптотически плохими в том смысле, что при фиксированном 
отношение 
стремится к 0 при 
. С открытием кодов Гоппы было показано, что существуют такие из них, фактическое кодовое расстояние которых лежит весьма близко к границе Гильберта и которые, таким образом, существенно лучше кодов БЧХ [49, 50]. К сожалению, до сих пор неизвестна процедура нахождения хороших длинных кодов Гоппы. Используя алгоритм, по существу совпадающий с алгоритмом декодирования кодов БЧХ, можно
декодировать эти коды до конструктивного расстояния 
Однако привлекательность этих кодов состоит в том, что их фактическое кодовое расстояние существенно больше конструктивного. До сих пор не найдены алгоритмы декодирования, в которых используется эта дополнительная корректирующая способность.
Задачи
(см. скан)
