4.1.1. Вывод правила декодирования АРР
Для того чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибки символа, следует сопоставить 
такое значение V, которое максимизирует вероятность
По формуле Байеса
Поэтому правило декодирования состоит в следующем. Нужно положить 
тогда и только тогда, когда
Поскольку проверочные уравнения ортогональны по 
символу, то распределения вероятностей 
соответствуют независимым случайным величинам и (4.4) можно переписать в виде
Наконец, логарифмируя обе части и предполагая, что безусловные вероятности того, что 
равно 0 или 1, совпадают, переписываем (4.4) в виде
Каждое значение 
вычисляется удалением члена, соответствующего 
из 
проверочного уравнения. Поэтому каждое значение В, можно записать в виде
где 
ошибочный член 
проверочного уравнения, за исключением, конечно, 
(Здесь 
общее число членов 
проверочного уравнения, за исключением 
Заметим, что в отсутствие ошибок каждое значение В, является не зависящей от других оценкой 
Теперь отметим, что 
принимает значение О, если 
и имеется четное число ошибок или если с 
и имеется нечетное число ошибок. Вместе с тем В, принимает значение 1, если 
и имеется нечетное число ошибок или если 
и имеется четное число ошибок. Обозначая через 
вероятность появления нечетного числа ошибок в 
проверочном уравнении
(за исключением 
и через 
вероятность появления нечетного числа ошибок, получаем
Таким образом, решающая функция может быть записана следующим образом. Следует положить 
в том и только в том случае, когда у
Наконец, можно показать, что вероятность появления нечетного числа ошибок в данном множестве из 
символов определяется формулой
где 
вероятность возникновения ошибки в 
символе 
проверочного уравнения. Для когерентной системы ФМ с бесконечным числом уровней квантования выходного сигнала демодулятора 
и имеем 
(ошибка 
Формулу (4.5) можно переписать в виде
Хотя первоначально Месси формулировал правило декодирования именно в виде (4.7), на практике более удобной обычно оказывается форма правила декодирования, задаваемая (4.5). В любом случае основным шагом при реализации декодера является вычисление весов
