Главная > Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИСПРАВЛЕНИЯ КРАТНЫХ ОШИБОК

Некоторые классы алгебраических блоковых кодов, исправляющих кратные ошибки, известны уже давно (например, коды БЧХ). В результате интенсивных исследований появилось несколько практических методов декодирования таких кодов, и их теория в настоящее время достаточно хорошо развита. Существование эффективных алгоритмов декодирования таких кодов обусловлено именно их алгебраической структурой. Здесь приведем некоторые из алгоритмов, однако изложение не будет математически строгим. Подробные доказательства читатель может найти в специальной литературе.

Ошибки в рассматриваемых кодах исправляются путем решения систем алгебраических уравнений. В качестве простого примера рассмотрим двоичный код БЧХ длиной 15, исправляющий двойные ошибки. Проверочная матрица этого кода может быть записана в виде

где различные ненулевые элементы поля При появлении ошибок в символах принятого слова у синдром

дает два уравнения с двумя неизвестными:

Решив эти уравнения относительно а, и можно найти положения ошибок После этого исправление ошибок будет состоять в замене соответствующих символов на противоположные. К сожалению, выписанные уравнения являются нелинейными и очевидных методов их решения не существует. Однако можно начать с исключения одного из неизвестных. Выражая а из первого уравнения и подставляя результат во второе, получаем

Если начать с решения первого уравнения относительно и подставить результат во второе, то получится такое же уравнение (конечно, с вместо Таким образом, и являются решениями (или корнями) одного и того же многочлена

Этот многочлен называется многочленом локаторов ошибок. Одним из методов нахождения его корней является простой метод проб и ошибок. Таким образом, подставляя в это уравнение по очереди все ненулевые элементы можно гарантировать, что будет найдено положение обеих ошибок. Этот подход уже существенно проще, чем проверка всевозможных пар ошибок для нахождения пары, являющейся решением исходных проверочных уравнений.

Намеченный подход естественно обобщается на двоичные и недвоичные коды БЧХ, исправляющие -кратные ошибки. Для таких кодов всегда можно найти многочлен локаторов ошибок непосредственно по синдрому, если только число ошибок не превышает корректирующей способности кода. Этот многочлен локаторов ошибок обладает точно такими же свойствами, как многочлен из рассмотренного примера; единственное отличие состоит в том, что в качестве корней удобнее брать величины, обратные номерам позиций ошибок. В этой главе будут рассмотрены два эффективных метода нахождения многочлена локаторов ошибок. После того как этот многочлен получен, его корни можно найти эффективной процедурой проб и ошибок или с помощью другого метода, который также будет изложен. Для недвоичных кодов возникает дополнительная задача определения значений ошибок на данных позициях. Оказывается, что решение этой задачи легко включается в описываемые алгоритмы.

Существует несколько подходов к изложению теории кодов, исправляющих кратные ошибки. В этой главе выбран метод, основанный на теории преобразований. Большинству инженеров хорошо знакомо обычное преобразование Фурье. Используемые в этой главе преобразования очень похожи на него, однако они определяются с помощью элементов конечного поля. Эти преобразования

дают простой метод для вывода основных свойств кодов БЧХ и кодов Рида — Соломона. Кроме того, для уменьшения сложности декодера недавно было предложено обратиться к преобразованию над конечными полями [33—36]. При изложении этой теории будем следовать статье Блейхута [37], который заметил, что использование преобразований оказывается также весьма целесообразным в учебных целях. Интересующийся читатель, несомненно, найдет эту статью полезной.

1
Оглавление
email@scask.ru