2.3.4. Коды Рида — Маллера

Коды Рида — Маллера являются двоичными групповыми кодами, эквивалентными циклическим кодам с добавленной общей проверкой на четность. Эти коды определяются следующим образом.

Определение. Пусть вектор, все компоненты которого равны 1. Пусть строки матрицы, столбцами которой являются все двоичные наборы длиной Код Рида — Маллера порядка содержит в качестве базиса векторы и все покомпонентные произведения или меньшего числа этих векторов.

В этом определении покомпонентное произведение векторов задается формулой

Для любого значения код Рида — Маллера порядка имеет следующие параметры:

порядка дуален коду порядка.

Коды первого порядка тесно связаны с кодами максимальной длины. Если начать с кода максимальной длины и расширить его, добавляя общую проверку на четность, получим ортогональный код. Этот код имеет длину и вес каждого ненулевого кодового слова Таким образом, любые два кодовых слова совпадают в позициях и различаются в остальных позициях. Использовав этот код с противоположными сигналами (см. подразд. 1.2.5.1.), получим множество из ортогональных сигналов для кодовых векторов (отсюда название «ортогональный код»). Код Рида — Маллера первого порядка получается непосредственно из ортогонального кода добавлением кодового слова, состоящего целиком из единиц. Если рассматривать передаваемые сигналы, то эта процедура эквивалентна добавлению дополнительных сигналов к первоначальному множеству ортогональных сигналов. По этой причине полученный код часто называется биортогональным. Характеристики ортогональных и биортогональных кодов очень близки к характеристикам кодов максимальной длины. Однако в когерентных системах чаще используются биортогональные коды, поскольку они обладают некоторыми преимуществами при реализации. Наиболее серьезным недостатком этих кодов является их очень низкая скорость.

Таблица 2.6. (см. скан) Базисные векторы для кодов Рида-Маллера длиной 8

В табл. 2.6 показано построение кодов Рида — Маллера более высоких порядков для Для получения кода первого порядка в качестве строк порождающей матрицы нужно взять Код второго порядка получается добавлением к этой матрице строк Наконец, для получения кода третьего порядка нужно добавить строку

Важность кодов Рида — Маллера обусловлена тем, что эти коды, как и некоторые близкие коды (евклидово-геометрические и проективно-геометрические), можно декодировать, используя алгоритм порогового декодирования, изложенный в следующей главе. Другой близкий класс кодов, разностные циклические коды, описывается в следующей главе после изложения метода порогового декодирования.