6.5. Характеристики сверточных кодов с алгоритмом декодирования Витерби

Наиболее полезными методами оценки характеристик систем сверточного кодирования являются использование аддитивной границы и моделирование с помощью ЭВМ. Применение моделирования ограничено тем, что для получения статистически достоверных результатов приходится затрачивать много машинного времени (просчет одной точки может занимать несколько часов). Поэтому такой метод оказывается наиболее полезным в специальных случаях, когда для получения хороших оценок нельзя использовать аддитивную границу. В гл. 1 была описана эффективная по вычислительным затратам аддитивная граница для блоковых кодов. Практически так же выводится аддитивная граница для сверточных кодов, которая дает весьма точные оценки (с точностью до небольших долей децибела) при достаточно больших значениях отношения сигнал-шум, обеспечивающих вероятность ошибки или менее. Кроме того, такой подход может быть использован для предсказания характеристик некоторых аппаратных реализаций декодера. В качестве оцениваемых параметров рассматривается вероятность первого ошибочного события и более часто — вероятность ошибки символа

6.5.1. Аддитивные границы

Прежде чем получить общую аддитивную границу, рассмотрим правильный путь и другой путь, отличающийся от него в позициях Обозначим вероятность выбрать на выходе канала этот другой путь вместо правильного через В случае двоичного симметричного канала (ДСК) с вероятностью ошибки величина равна сумме вероятности появления более ошибок и половине вероятности появления ровно ошибок; эта вероятность дается величиной в (1.30).

Поскольку рассматриваемые коды являются линейными, без потери общности можно предположить, что правильный путь соответствует нулевой передаваемой последовательности. Возникновение первой ошибки при обработке принятого ребра означает, что в этом месте нулевой путь заменяется некоторым другим,

сливающимся с ним путем. Вероятность замены нулевого пути на сливающийся с ним путь веса зависит только от веса этого пути. Число путей веса сливающихся с нулевым путем, равно и полный информационный вес этих путей равен . (Заметим, что распределение весов путей, входящих в состояние 0, совпадает с распределением весов путей, выходящих из состояния 0.)

Аддитивная граница для вероятности первой ошибки на ребре может быть получена суммированием вероятностей ошибки для всех возможных путей, сливающихся с нулевым путем в этом месте. Эта верхняя граница имеет следующий простой вид:

Аддитивная граница для вероятности ошибки символа может быть получена из (6.10) умножением каждого члена на соответствующее число ошибок символов (информационный вес пути). Однако для кода с на каждом ребре декодируется символов. Поэтому граница для имеет вид

Справедливость неравенства (6.11) не вполне очевидна. Его, однако, можно проиллюстрировать, рассмотрев пример на рис. 6.11. Ошибочное событие состоит в том, что происходит одна или несколько ошибок символов. Предположим, что ошибка возникла на шаге и правильный путь был заменен на путь На следующем шаге сравниваются а не и правильный путь. Вероятность того, что при таком сравнении окажется выжившим путем, не превышает вероятности первого ошибочного события, поскольку правильный путь заменяется на путь с большей метрикой. Для получения верхней оценки среднего числа ошибочных символов за шагов можно просуммировать по всем путям произведения вероятностей ошибки на число ошибочных символов и затем взять сумму полученных величин по всем шагам. Замечая, что при этом декодируются информационных символов так, что средняя вероятность ошибки на символ равна сумме одинаковых выражений, деленной на получаем оценку (6.11).

Рис. 6.11. Типичная ошибка при декодировании Витерби

Вычисление (6.10) и (6.11) требует знания спектра весов для путей в дереве, который можно получить с помощью производящих функций, рассматривавшихся в разд. 6.4. Исходя из этих производящих функций можно также пытаться получить приближенные оценки для в замкнутом виде. Заметим прежде всего, что если бы удалось представить член в виде а, то выражения (6.8) и (6.10) стали бы эквивалентными. Оказывается, что для нескольких каналов, представляющих практический интерес, это в действительности можно сделать. Например, можно показать [58], что для можно ограничить сверху следующим образом:

Итак, используя (6.8), (6.10) и (6.12), можно записать верхнюю границу для вероятности первого ошибочного события в виде

поэтому для кода с имеем

Этот подход оказывается весьма полезным при матричном методе нахождения Заметим, что (6.13) можно вычислить с помощью обращения матриц, указанного в (6.7). Это обращение осуществляется непосредственно, поскольку после подстановки оно превращается в обычное обращение числовых матриц. Другой подход состоит в том, чтобы использовать приближенное выражение для обратной матрицы, взяв первые несколько членов ряда Оказывается, что этот ряд быстро сходится (почти для любого интересного кода достаточно менее 100 членов). Аналогично вероятность ошибки символа можно записать в виде

откуда для кода с имеем

Для вычисления (6.14) снова можно использовать обращение матриц. Производную в точке можно заменить на нормированную разность, т. е.

Таким образом, для вычисления аддитивной границы можно обойтись без предварительного определения спектра кода; достаточно

использовать обращение матриц. Аналогично можно вычислить аддитивную границу, справедливую для демодуляторов с мягким решением (см. задачу 6.5). В некоторых случаях точность вычислений можно улучшить, положив

и выбрав а таким образом, чтобы получить возможно более точные оценки для тех которые существенны для данного кода.