1.3.5. Влияние квантования

Теперь можно оценить, как влияют на характеристику декодера квантование и выбор значений метрики. Напомним, что аддитивная граница (см. подразд. 1.3.2) представляет собой взвешенную сумму вероятностей ошибки при выборе между последовательностью, состоящей целиком из нулей, и некоторой последовательностью веса Поэтому кажется естественным, что достаточно хорошее представление о поведении параметров декодера можно получить, решая ряд простых задач.

Предположим, что в системе связи передается одна из двух равновероятных последовательностей. Одна последовательность состоит из семи символов 0, а вторая — из семи символов 1. Приемник содержит оптимальный детектор символов (согласованный фильтр), за которым следуют квантователь и декодер последовательности. Предположим, что система может работать в одном из нескольких режимов. В режиме 1 декодер обрабатывает значения напряжения на выходе согласованного фильтра (такой режим называется режимом без квантования или с бесконечным числом уровней квантования) В режиме 2 в декодере осуществляется равномерное квантование на восемь уровней с расстоянием между порогами, равным как на рис. 1.3. Декодер сначала вычисляет оптимальную метрику согласно (1.38), а затем зыбирает последовательность, для которой сумма метрик минимальна. В режиме 3 в декодере осуществляется такое же квантование на восемь уровней, однако метрика изменяется равномерно, принимая значения от 0 до 7. В режимах 4 и 5 в декодере осуществляется квантование на четыре уровня с расстоянием между порогами, равным В режиме 4 используется оптимальная метрика, а в режиме 5 — равномерно изменяющаяся метрика, принимающая значения от 0 до 3. В режимах 6 и 7 используется трехуровневый квантователь с симметричной относительно нуля центральной зоной. Ширина центральной зоны равна в режиме — в режиме 7. Наконец, в режиме 8 осуществляется двоичное квантование с единственным

порогом квантования в точке 0. Рассчитаем вероятность ошибки как функцию отношения сигнал-шум для каждого из режимов.

В режиме 1 потеря информации при квантовании отсутствует и система не отличается от системы, в которой имеются согласованные фильтры для каждой из последовательностей. В этом случае аналогично (1.39) можно получить, что вероятность ошибки совпадает с вероятностью ошибки для отдельного символа при семикратной энергии, т. е.

При исследовании режимов 2—8 нужно вначале вычислить отдельные переходные вероятности, а затем вероятность того, что сумма метрик, соответствующих ошибочной последовательности, превосходит сумму метрик, соответствующих правильной последовательности. Переходная вероятность задается равенством

где первый и последний пороги равны Эти переходные вероятности симметричны, так что для -уровневой схемы

Для упрощения обозначений положим

Значение метрики д.) можно рассматривать как случайную величину, и дискретное распределение вероятностей этой случайной величины для режимов 2 и 3 показано на рис. 1.7. Для вычисления вероятности того, что сумма метрик для нулевой последовательности превосходит сумму метрик для единичной последовательности, удобно рассмотреть распределение вероятностей

Рис. 1.7. Распределение вероятностей значений метрики для восьмиуровневого дискретного канала

Рис. 1.8. Распределение вероятностей разности метрик для восьмиуровневого дискретного канала

для разности значений метрики для двух последовательностей, как показано на рис. 1.8. Для расчета вероятности ошибки нужно свернуть это распределение с собой 6 раз и проинтегрировать (или просуммировать) полученное распределение по положительной полуоси. Нетрудно догадаться, что при этом возникнут вычислительные сложности. Если метрика принимает нецелые значения, то при каждой свертке число значений, участвующих в вычислениях, возрастет в 8 раз. Таким образом, после шестой свертки получим 87 членов. Если метрика принимает лишь целые значения, то многие из возникающих при промежуточных вычислениях членов суммируются, так что общее число членов возрастает намного медленнее. Для преодоления указанной трудности можно вычислить фактические значения метрики и умножить их на общий коэффициент таким образом, чтобы они хорошо приближались целыми числами. Так, при переходные вероятности приведены в табл. 1.3. Там же приведены значения и соответствующим образом увеличенные значения которые можно округлить до ближайшего целого и взять в качестве значений разностей В этом случае общее число членов после шестикратной свертки не превысит что значительно меньше, чем 87 членов. Заметим также, что отношения членов, соответствующих центральным значениям, составляют т. е. совпадают с отношениями членов, возникающими при использовании линейной метрики, и лишь последнее значение оказывается другим. Таким образом, метрика, принимающая значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 8, 67, приводит к указанному набору разностей и поэтому является почти оптимальной.

Можно отметить одно очень важное свойство метрик, состоящее в том, что параметры декодера зависят только от разностей расположенных симметрично значений метрики, а не от самих значений. Таким образом, декодеры, в которых используются метрики имеют абсолютно одинаковые параметры. Это свойство иногда может быть использовано для упрощения аппаратной реализации декодера. Интересно также отметить, что в случае трехуровневого квантования любая метрика с различными значениями

Таблица 1.3. (см. скан) Вычисление оптимальной метрики для восьмиуровневого канала при

Рис. 1.9. Зависимость вероятности ошибки последовательности от для последовательности веса Т при различных метриках и равном числе уровней квантования

является оптимальной, так что линейная метрика столь же хороша, как и любая другая.

Набор кривых, характеризующих восемь различных режимов, приведен на рис. 1.9. Можно сделать ряд интересных наблюдений. Во-первых, в приведенном интервале значений отношения сигнал-шум почти не видно разницы в характеристиках при использовании оптимальной и линейной метрик. Во-вторых, схема с восьмиуровневым квантованием почти не отличается от схемы без квантования. Таким образом, использовать квантование с числом уровней, большим 8, бесполезно. Кроме того, выигрыш при переходе в канале с 8 уровнями квантования к неравным интервалам между уровнями или изменении значения А относительно среднего уровня сигнала также является незначительным. В канале с тремя уровнями квантования узкий интервал стираний лучше широкого интервала стираний всегда, кроме очень малых значений отношений сигнал-шум. В действительности, при больших отношениях сигнал-шум параметры декодера с широким интервалом стираний хуже параметров декодера с двоичным квантованием. При рассмотрении последовательностей, имеющих не семь, а другое число различных символов, приведенные результаты сохраняют силу. Таким образом, приведенные кривые могут служить хорошим указанием

на поведение любой схемы декодирования, характеристика которой близка к той, которая получается с помощью аддитивной границы.