2.1.4. Порождающая матрица
До сих пор групповые коды описывались в терминах проверочной матрицы Н. Записанная в канонической форме, такая матрица позволяет выразить каждый проверочный символ в виде линейной комбинации информационных символов. Часто полезным оказывается другое возможное описание. Напомним, что сумма по модулю 2 любых двух кодовых слов снова является кодовым словом. Несколько раз используя это свойство, получаем, что любая линейная комбинация кодовых слов (при сложении по модулю 2) также является кодовым словом. Поскольку информационные символы выбираются независимо, можно надеяться, что существуют кодовые слова, каждое из которых содержит ровно один символ 1 в информационной части кодового слова. Тогда все 
кодовых слов можно будет получить как 
возможных линейных комбинаций этих 
базисных векторов. Внимательный читатель заметит, что мы приписываем коду свойства линейного векторного пространства. Следующий пример показывает, что это действительно так.
Проверочная матрица 
-кода Хемминга имеет вид
Мы хотим найти четыре различных кодовых вектора, каждый из которых содержит единственный символ 1 в первых четырех позициях. Предположим, что первый из этих векторов имеет вид
Умножая этот вектор на каждую из строк матрицы Н, находим, что 
должны быть элементами ее первого столбца. Аналогично, полагая
получаем, что 
совпадают с элементами второго столбца Н и т. д. Таким образом, проверочная часть каждого из четырех базисных векторов совпадает с одним из первых четырех столбцов матрицы Н. Если сформировать из этих четырех векторов матрицу, то получим так называемую порождающую матрицу кода. В канонической форме она всегда состоит из единичной матрицы порядка 
к которой присоединена 
-матрица
проверочных символов. Проверочная часть порождающей матрицы получается из матрицы Н (в канонической форме) транспонированием подматрицы, образованной первыми 
столбцами. Таким образом, в данном примере
Теперь должно быть ясно, как связаны между собой проверочная и порождающая матрицы произвольного кода, двоичного или недвоичного. Если порождающая матрица имеет вид
где 
- матрица проверочных символов, то проверочная матрица
Таким образом, по порождающей матрице, записанной в канонической форме, сразу можно получить проверочную матрицу и наоборот.
