2.3.3. Коды максимальной длины

Коды максимальной длины дуальны кодам Хемминга. Напомним, что порождающим многочленом кода Хемминга длиной является примитивный многочлен Дуальный код той же длины получится, если взять в качестве проверочного многочлена. Этот многочлен может быть использован для построения цепей обратных связей в кодере на регистре сдвига с ячейками показанном на рис. 2.7. При этом получается код с параметрами

Коды максимальной длины обладают несколькими интересными свойствами. Заметим, что регистр с ячейками характеризуется только ненулевыми состояниями, так что длина максимального цикла равна Поскольку длина кода также равна каждое кодовое слово является выходной последовательностью максимальной длины. Кроме того, кодер проходит за один цикл через все ненулевых состояний. Поэтому все ненулевых кодовых слов являются циклическими сдвигами одного ненулевого кодового слова, так что все ненулевые кодовые слова имеют один и тот же вес. Такой код называется эквидистантным или симплексным.

Рис. 2.13. Аддитивная граница для вероятности ошибки при использовании -кода максимальной длины с неквантованным мягким решением

Спектр этих кодов легко определяется на основе структуры кодера. Заметим, что для любого ненулевого кодового слова кодер проходит через все различных ненулевых состояний и вес кодового слова равен общему числу тех состояний, для которых старший двоичный символ равен 1. Поэтому вес каждого ненулевого кодового слова составляет и весовая функция

Эта весовая функция связана с весовой функцией кода Хемминга тождеством (2.5). Аддитивная граница

для вероятности ошибочной последовательности при использовании этих кодов с неквантованным декодированием по максимуму правдоподобия при мягком решении и когерентной фазовой модуляции имеет вид

где Используя (1.41), можно получать аддитивную границу для средней вероятности ошибки на символ в виде

Некоторые типичные зависимости вероятности ошибки приведены на рис. 2.13. Заметим, что при небольших получается значительный выигрыш от кодирования. При этих значениях разумно использовать декодеры максимального правдоподобия.

Пример. Рассмотрим -код максимальной длины. В качестве можно взять любой примитивный многочлен степени 4, например Используя этот многочлен для задания уровней обратной связи, можно построить кодер, аналогичный показанному на рис. 2.7. Заметим, что порождающий многочлен имеет вид

Этот многочлен является кодовым словом. Остальные 14 ненулевых кодовых слов являются 14 циклическими сдвигами этого многочлена. Таким образом, ненулевые кодовые слова представляются многочленами

для

Кодер для таких кодов иногда называется регистром сдвига максимальной длины с обратными связями. Он имеет ряд других применений. При большом такой регистр сдвига производит последовательности с очень хорошими свойствами случайности. Такие последовательности используются на практике, когда требуется порождение случайных чисел, а также когда нужны псевдослучайные двоичные последовательности, например в системах с широкополосными сигналами.