8.4.3. Характеристики сверточных кодов при наличии периодических пакетов стираний

Влияние, оказываемое на характеристики сверточного кода с декодированием Витерби периодическими пакетами стираний, можно определить, вычислив влияние периодических стираний на спектр кода. Предположим, что входная последовательность декодера подвергается влиянию периодического процесса стирания В последовательных символов с периодом Имеется

различных фаз этого процесса стирания относительно входной последовательности декодера. Используя метод полного перебора, с помощью которого вычислялись значения для каждой из этих фаз последовательности пакетов стираний можно определить получающийся спектр кода (при определении спектра не нужно учитывать позиции, в которых произошли стирания). (Заметим, что в декодер поступает информация о положении стертых символов, но он не может использовать кодовое расстояние, накопленное на стертых позициях, для различения между собой кодовых слов.) Подставляя полученный спектр в выражение для аддитивной границы, можно определить аддитивную границу для при данной фазе стираний. Общая граница для вероятности ошибки получается усреднением по всем фазам пакетов стираний. Эквивалентный способ состоит в том, чтобы находить усредненный спектр определяя спектр для каждой фазы и усредняя его по всем фазам. Подставляя в (8.4), можно получить аддитивную границу точно так же, как и для случайных стираний.

Усредненный спектр задается формулой

где спектр, определенный полным перебором, для случая, когда стирания начинаются в символе (т. е. опускается расстояние, накопленное в символах ). На рис. 8.14 в качестве примера показаны первоначальный спектр кода с и усредненный спектр для периодических пакетов с Заметим, что, хотя пакеты стираний могут сильно уменьшить кодовое расстояние (например, до 7 при и до 3 при члены малого веса в выражении для аддитивной границы появляются с малыми множителями. Поэтому характеристики ухудшаются не столь сильно, как можно было бы ожидать исходя результатов рассмотрения кодового расстояния. Для сравнения на рис. 8.14 показан также усредненный спектр для случайных стираний с той же средней интенсивностью, который задается формулой (8.5).

Зависимости ухудшения характеристик для кода с при периодических пакетах стираний, рассчитанные по (8.4) и (8.7), показаны на рис. 8.15. Они построены для случаев, когда не применяется перемежение. Как и следует ожидать, наилучшие характеристики при данном соответствуют случаю При известном периодическом процессе появления пакетов можно построить периодические устройства перемежения и восстановления, переводящие пакеты в одиночные ошибки, разнесенные на максимальное расстояние (на рис. 8.15 это соответствует случаю Заметим, что для пакетов, длина которых не больше 5, характеристики ухудшаются удивительно медленно, и в действительности

Рис. 8.14. Спектр кода с

Рис. 8.15. Ухудшение характеристик для кода с

они сравнимы с характеристиками для случайных стираний при той же интенсивности (или даже лучше их). Таким образом, для пакетов длиной не более 5 псевдослучайное перемежение не только не улучшает, но даже ухудшает характеристики. И никакое перемежение не может существенно их улучшить. Кроме того, во всяком случае при интенсивности 5 и 10%, ухудшение невелико даже для сравнительно длинных пакетов стираний (менее при

Интересной особенностью кривых является аномальное поведение при интенсивности 10%, когда ухудшение при несколько меньше, чем при Аномалия объясняется тем, что кодовое слово с наибольшим кодовым расстоянием состоит из 32 символов, так что в нем умещаются два пакета стираний длиной 3 при периоде Распределение весов в этом кодовом слове таково, что при наихудшей фазе его вес уменьшается на 5. Однако при кодовое слово веса 10 слишком коротко, чтобы в нем поместилось несколько пакетов, так что его спектр уменьшается не более чем на 4.

Заметим также, что при увеличении В кривые для всех трех интенсивиостей становятся почти параллельными, в то время как при меньших значениях В их ход весьма различен. Это объясняется тем, что при фиксированном и при больших значениях В период становится слишком большим для того, чтобы в кодовых словах малого веса помещалось несколько пакетов ошибок, а основной вклад в значение аддитивной границы вносят именно слова малого веса. Например, при и 20% ухудшение вызывается одним пакетом стираний, так что в окончательном результате учитывается только усредненная по периоду

интенсивность. Вместе с тем при малых В период достаточно мал для того, чтобы могли возникнуть кратные пакеты стираний при больших значениях интенсивности, так что кривые сильно отличаются друг от друга.

Заметим, наконец, что кривые на рис. 8.15 относятся лишь к случаю Асимптотически при ухудшение характеристик определяется лишь наибольшим уменьшением расстояния. Важно, что ухудшение при существенно меньше (примерно на в рассматриваемой области), чем асимптотическое ухудшение. Причина состоит, как уже говорилось, в том, что, хотя уменьшение веса при наихудшей фазе может быть значительным, влияние этого уменьшения существенно снижается при усреднении по периоду стираний.

Аналогичные кривые можно построить для кодов с Интересно рассмотреть эти кривые при нормировании длины пакета относительно числа информационных символов, т. е. представить ухудшение как функцию (длина пакета в информационных символах). Результаты для показаны на рис. 8.16 для кодов с 2/3 и 3/4. (Если строить коды с меньшими скоростями, повторяя символы в канале для кода с то полученные кривые будут почти совпадать с кривыми для кода с на рис. 8.16). Заметим, что сравнение следует проводить

Рис. 8.16. Ухудшение характеристик для кодов с при

Рис. 8.17. Ухудшение характеристик для кодов с при

при постоянной информационной скорости и с использованием большой скорости кодирования для уменьшения ширины полосы частот. Интересно, что во всех трех рассматриваемых случаях ухудшение характеристик оказывается весьма близким. Поведение сильно отличается от поведения при рассмотрении случайных стираний. Отсюда и из других сделанных нами замечаний (см. рис. 6.25) можно сделать вывод, что в кодах с большой скоростью имеется намного больше длинных путей с высокой долей символов 1, чем в коде с так что пакет стираний не приводит к столь сильному уменьшению веса и, следовательно, к столь большому ухудшению характеристик, которого можно было бы ожидать.

Для выяснения влияния длины кодового ограничения на рис. 8.17 показана зависимость ухудшения при от длины пакета при для нескольких кодов с Заметим, что при периодичности пакетов и отсутствии перемежения увеличивать длину кодового ограничения гораздо выгоднее, чем уменьшать скорость кода (при той же информационной скорости). Такое поведение отлично от результатов для случайных стираний, показанных на рис. 8.13.

Периодический процесс появления стираний можно рассматривать как процесс, вызывающий появление пакета стираний длиной В, за которым следует свободная от стираний защитная зона длиной Поэтому приведенные здесь результаты справедливы для тех случаев, когда имеются пакеты стираний длиной В или менее и за каждым пакетом следует защитная зона длиной Предсказанные ухудшения характеристик должны являться верхними границами ухудшения характеристик в последнем случае.

Аналогичные результаты можно получить и для блоковых кодов. Так, Берлекэмп показал, что блоковый -код с позволяет исправлять один пакет из 6 или 12 стираний в кодовом слове с ухудшением характеристик, составляющим соответственно только 0,8 и (при с декодированием по максимуму правдоподобия) [104]. Этот результат оказывается несколько лучшим, чем для кода с для которого также . В отсутствие перемежения использовать длинные блоковые коды несколько выгоднее, чем сверточные коды, поскольку можно использовать коды с очень большим кодовым расстоянием. Длинные сверточные коды можно декодировать методом последовательного декодирования, однако появление пакетов стираний приводит к существенным вычислительным трудностям.