6.5.2. Оптимальные коды

Для большинства практически интересных каналов значения в (6.11) удовлетворяют условию Кроме того, при больших значениях отношения сигнал-шум стремится к 0, так что основной вклад в (6.11) вносит первый ненулевой член. Таким образом, наилучшими являются такие коды, для которых свободное расстояние максимально велико, соответствующее члену с наименьшим расстоянием, максимально мало. При больших значениях отношения сигнал-шум такие коды оптимальны. При меньших значениях отношения сигнал-шум вероятность ошибки зависит от нескольких членов в (6.11), так что оптимальность может не сохраняться. В практически интересных случаях отличия оказываются небольшими.

Много усилий было затрачено на поиск оптимальных кодов и составление соответствующих таблиц. При небольших длинах кодового ограничения в качестве критериев используются как свободное расстояние, так и множитель При больших длинах кодового ограничения критерием служит только свободное расстояние, что уменьшает объем вычислений при поиске оптимальных кодов.

Несистематические коды оказываются лучше систематических, поскольку при данном значении они позволяют получить большее свободное расстояние. Это сразуприводит к улучшению характеристик, возрастающему с ростом скоростей кода. Поскольку декодирование систематических кодов не легче декодирования несистематических, они почти никогда не используются в системах с декодером Витерби.

При выборе хороших кодов следует избегать так называемых кодов с катастрофическим размножением ошибок. В случаях когда возникает катастрофическое размножение ошибок, существуют некоторые входные последовательности с бесконечным весом Хемминга, которые приводят к кодовым последовательностям с конечным весом Хемминга. Таким образом, небольшое число ошибок в канале может перевести данное кодовое слово в другое кодовое слово, соответствующая которому входная последовательность отличается от данной на бесконечном числе позиций. Этот эффект подробно рассмотрен Месси и Сайном [60]. Для скоростей вида следует избегать кодов, генераторы которых имеют общий множитель. Для скоростей вида следует избегать кодов, для которых определителей различных -подматриц

порождающей -матрицы имеют общий множитель. Рассмотрим, например, код с для которого Генераторы кода имеют общий множитель Заметим, что нулевая входная последовательность приводит к выходной последовательности в то время как входная последовательность, состоящая целиком из единиц, приводит к выходной последовательности Таким образом, две ошибки в первых трех символах канала обусловливают бесконечное число ошибок информационных символов, что очевидно является катастрофой.

В прилложении Б приводятся порождающие многочлены наилучших кодов для небольших длин кодового ограничения. В табл. содержатся оптимальные порождающие многочлены и существенные члены спектра для кодов с Аналогично генераторы выколотых кодов с и 3/4 приведены в табл. Б.З-Б.5. Приведенные спектры позволяют провести точную оценку характеристик.

Можно задать вопрос: насколько эффективны такие коды с малой длиной кодового ограничения? Из табл. Б.1-Б.5 вытекает, что такие коды могут иметь достаточно большое свободное расстояние. Для них можно также получить границы для свободного расстояния, аналогичные границе Плоткина [61]. Почти во всех случаях свободное расстояние построенных кодов достигает верхней границы, что указывает на их высокую эффективность.