2.2.6. Коды, задаваемые корнями
Еще один способ задавать полиномиальный код состоит в следующем. Многочлен с коэффициентами из поля GF (q) будет кодовым словом в том, и только в том случае, если элементы 
являются его корнями. Другими словами, 
будет кодовым словом в том, и только в том случае, если 
. Например, многочлен степени 6 или меньше с коэффициентами из 
является кодовым словом в том, и только в том случае, если а [элемент GF(8)] - его корень. Поскольку 
минимальная функция а, этот способ эквивалентен заданию кодового слова свойством делимости на 
Заметим, что условие 
эквивалентно равенству
Для кода из предыдущего примера
Различные степени 
в (2.14) являются, как легко видеть, столбцами проверочной матрицы. В общем случае кода, задаваемого корнями 
проверочная матрица Н может быть получена из равенства
Записывая проверочную матрицу в таком виде, нужно включить только один корень из каждого множества 
поскольку согласно свойству 2 из подразд. 2.2.5
Определив код таким образом, можно заметить, что корни 
должны быть корнями порождающего многочлена кода. Обозначая через минимальную функцию можно получить порождающий многочлен кода по формуле
где НОК - наименьшее общее кратное многочленов. Многие циклические коды задаются именно таким способом.
