5.7. Вычисление характеристик

Характеристики кодов БЧХ несложно оценить с помощью методов, изложенных в подразд. 1.3.1. Поскольку лишь для немногих кодов известен их спектр, не будем предполагать его знания.

Стандартный алгоритм декодирования кодов БЧХ является алгоритмом с ограниченным расстоянием. Это означает, что ни одна комбинация, содержащая больше ошибок, не исправляется. Вероятность ошибки последовательности для кода БЧХ длиной

исправляющего ошибок, задается вероятностью появления в кодовом слове более ошибок, т. е.

где вероятность ошибки символа в рассматриваемом канале. В учитываются вклады как от необнаруженных ошибок, так и от отказа при декодировании.

Чтобы получить верхнюю границу вероятности ошибки символа при использовании двоичных кодов БЧХ, сделаем пессимистическое предположение о том, что набор ошибок в канале приведет к тому, что декодированное слово будет отличаться от переданного в позициях, так что часть из информационных символов будет декодирована неправильно. Следовательно,

Для ряда интересных кодов при использовании двоичной эта граница приводится на рис. 5.11. Некоторые практически используемые алгоритмы декодирования дают значительный выигрыш от кодирования. При длине блока 511 выигрыш составляет примерно (при

Рис. 5.11. Характеристики кодов БЧХ с двоичной ФМ (жесткое декодирование)

Рис. 5.12. Характеристики кодов БЧХ с ортогональными сигналами и некогерентным обнаружением (жесткое декодирование)

Более длинные коды, приводящие к несколько большему выигрышу, также допускают эффективное использование. Кроме того, допускается значительная гибкость при выборе скорости кода. Было показано, что максимум кривой зависимости выигрыша от кодирования от скорости кода БЧХ при фиксированном занимает сравнительно широкий интервал, составляющий примерно Характеристики кодов БЧХ в гауссовских каналах существенно ухудшаются при очень больших или очень малых скоростях. Таким образом, кривые, приведенные на рис. 5.11, хорошо иллюстрируют характеристики кодов указанных длин при скоростях, составляющих примерно 1/2.

Аналогичные кривые для ортогональных сигналов и некогерентного обнаружения показаны на рис. 5.12. В некогерентных системах выигрыш существенно уменьшается, поскольку кривая, соответствующая отсутствию кодирования, имеет большую крутизну. В результате при можно получить выигрыш, лишь немногим превышающий Зависимости, приведенные на рис. 5.12, построены для , поскольку в некогерентных системах такие коды несколько эффективнее кодов с

Легко оценить также параметры алгоритмов декодирования с исправлением ошибок и стираний, приведенных в разд. 5.7. Описанные там алгоритмы гарантируют исправление всех комбинаций из ошибок и стираний, для которых Любая комбинация, не удовлетворяющая этому условию, приведет к ошибке декодирования либо к отказу от декодирования. Таким образом, предполагая, что вероятность ошибки равна а вероятность стирания — получаем вероятность ошибки последовательности

где

К сожалению, эти алгоритмы декодирования не очень эффективны в гауссовском канале. При фазовой модуляции с оптимальным трехуровневым квантованием сигнала на выходе демодулятора выигрыш по сравнению с жестким решением составляет всего Это значение следует сравнить с выигрышем около который можно было бы ожидать, основываясь на границах случайного кодирования.

При оптимальном алгоритме декодирования ошибок и стираний принятое слово должно декодироваться в такое кодовое слово, которое отличается от него в наименьшем числе нестертых

позиций. Этого можно добиться, подставляя на места стираний всевозможные комбинации символов и производя декодирование в каждом из случаев с использованием стандартного алгоритма для исправления ошибок. Таким образом, получается множество из кодовых слов, из которого нужно выбрать кодовое слово, отличающееся от принятого слова в наименьшем числе нестертых позиций. Такой подход представляет собой один из вариантов алгоритма Чейза. Заметим, что первый алгоритм, рассмотренный в разд. 5.5, включал только две процедуры декодирования (замена всех стираний на нули или на единицы). При таком более простом алгоритме не исправляются все комбинации ошибок и стираний которые исправляются с помощью описанного варианта алгоритма Чейза. Однако этот алгоритм несколько лучше алгоритмов, приведенных в разд. 5.6, поскольку позволяет исправлять некоторые комбинации с

Таким образом, чисто алгебраический алгоритм исправления ошибок и стираний имеет, по-видимому, лишь ограниченные применения для исправления ошибок в гауссовском канале. Однако в некоторых других каналах он может оказаться весьма полезным. Одна из таких ситуаций возникает при передаче по каналу с сильной интерференцией, которая может быть обнаружена и представлена как стирания. В этих случаях алгоритмы из разд. 5.6 дают наибольший (если не максимально возможный выигрыш от декодирования ошибок и стираний.

Длина всех кодов, для которых приведены кривые на рис. 5.11 и 5.12, определяется какят Однако во многих практических ситуациях могут возникнуть ограничения на длину кода. Обычно такие ограничения удовлетворяются укорочением более длинного кода. Для укорочения -кода на символов первые информационных символов нужно приравнять 0 и не передавать их. В результате получится -код с параметрами Параметр может принимать любые значения между Однако лишь для немногих кодов укорочение может быть проведено эффективно. Причина состоит в том, что число проверочных символов в коде длиной исправляющем ошибок, пропорционально Этот код может быть эффективно укорочен до кода длиной однако при меньших длинах выгоднее укорачивать код длиной исправляющий ошибок, поскольку он содержит только проверочных символов. Таким образом, для повышения эффективности кода в качестве нужно выбирать наименьшее целое число, для которого