1.3.4. Мягкое декодирование

В системах с кодированием декодер обычно строится так, чтобы минимизировалась вероятность ошибки для данного кода. Как было показано, при использовании жесткого декодирования оптимальной является процедура декодирования, при которой выбирается кодовое слово, отличающееся от принятого слова в наименьшем числе символов. Это значит, что выбирается кодовое слово, которое минимизирует расстояние между ним и принятой последовательностью. Такой декодер является декодером максимального правдоподобия, и он легко обобщается на случай мягкого решения. Идея состоит в том, чтобы ввести расстояние, пригодное для мягких решений.

Полезно рассмотреть задачу декодирования с несколько другой точки зрения. Предположим, что используются двоичные противоположные сигналы в неквантованном гауссовском канале и блоковый -код. Демодулятор передает декодеру последовательность из чисел, являющихся отсчетами напряжения на выходе согласованного фильтра. Пусть фактическая принятая

последовательность, из принятых для передачи кодовых слов; принимается, если шум отсутствует. Оптимальный декодер выберет которое максимизирует где условная вероятность того, что переданным было слово при условии, что принята последовательность Используя формулу Байеса, записываем

Если предположить, что все сообщения равновероятны, то максимизация эквивалентна максимизации Поскольку шумы, искажающие различные символы, не зависят друг от друга и являются гауссовскими с нулевым средним и дисперсией предположении, что можно записать в виде следующего произведения гауссовских плотностей:

где компоненты равны Это выражение максимально, когда расстояние

минимально. Сумма (1.36) является просто евклидовым расстоянием между предположительно переданной последовательностью и принятым сигналом. Таким образом, рассмотренное ранее понятие расстояния обобщается на неквантованные каналы. Структура декодера, по крайней мере в принципе, может быть описана непрерывным аналогом таблицы декодирования, приведенной на рис. 1.6 (столбцы должны стать областями в -мерном пространстве), в котором используется функция определяемая формулой (1.36). Польза такой формулировки состоит в том, что расстояние определяется простым сложением чисел, а не произведением экспоненциальных функций. Такой способ имеет некоторые технические достоинства, которые станут ясными при рассмотрении деталей реализации различных декодеров.

В реальных системах связи редко появляется возможность использовать точные значения выходного напряжения Обычно эти напряжения квантуются и представляются некоторыми числами, указывающими тот уровень квантования, которому соответствует данное напряжение. Если квантование осуществляется с большой разрешающей способностью, то этот метод, очевидно, не

отличается от непрерывной обработки. Однако с практической точки зрения желательно сделать квантование относительно грубым. Это уменьшает стоимость аналого-цифрового преобразователя, а также число двоичных разрядов, необходимых для представления каждого уровня квантования. Помимо двоичного квантования наиболее часто используемой схемой является квантование на восемь уровней. Этот метод уже был рассмотрен в подразд. 1.2.7.

Напомним, что канал с двоичным входным и -ичным выходным алфавитом, получающийся при квантовании выходной величины согласованного фильтра, полностью задается множеством переходных вероятностей где условная вероятность того, что уровень выходного напряжения равен при усложни, что входное напряжение есть Обычно канал симметричен и .

Определим расстояние для канала такого типа следующим образом Если по каналу была передана последовательность из символов, то вероятность того, что принятая последовательность равна записывается как произведение соответствующих переходных вероятностей. Таким образом,

Логарифмируя обе части, получаем

Как и ранее, замечаем, что декодер должен максимизировать а эта функция будет максимальной, когда отрицательная сумма в правой части (1.37) минимальна. Правая часть (1.37), очевидно, обладает требуемыми свойствами. Руководствуясь формулой (1.37), можно определить новую функцию, которая более удобна для вычислений. Определим символьную метрику:

где переходная вероятность при условии, что был передан символ 0. Константы выбирают обычно таким образом, чтобы минимальное значение равнялось 0, а все остальные значения лежали в некоторой удобной положительной области. Использование позволяет определить такое расстояние, которое ближе к обычному представлению о расстоянии, т. е. которое всегда неотрицательно и равно 0 в том, и только в том случае, когда переданная и принятая последовательности согласованы между собой. Разные значения В отвечают разным основаниям логарифма и служат, таким образом, удобным средством для подходящего выбора масштаба. В случае канала с жестким решением можно выбрать так, чтобы расстояние принимало значения 0 и 1. Следовательно, метрика в точности отвечает числу ошибок и выбор кодового слова, содержащего наименьшее число ошибок, действительно является оптимальной стратегией.

Заметим, что возможность ввести метрику не зависит от природы шума. Для задания метрики требуется лишь, чтобы были заданы вероятности переходов и чтобы ошибки отдельных символов были независимыми. Таким образом, понятие метрики или расстояния является весьма общим и может применяться к очень широкому классу каналов связи.

Одно из неудобств введенных выше метрик состоит в том, что для их вычисления мы должны знать переходные вероятности. Кроме того, при построении оптимального декодера следует менять значения метрики при изменении отношения сигнал-шум. На практике решение этой задачи состоит в выборе фиксированного множества значений метрики, которое легко задать и которое дает хороший компромисс для многих разных значений отношения сигнал-шум. Часто используется схема, в которой Если число уровней равно 8, то метрика принимает целые значения от О до 7. Такой выбор неожиданно оказывается превосходным приближением во многих используемых на практике декодерах и приводит лишь к незначительному ухудшению характеристик системы в широком диапазоне условий работы. Этот вопрос будет рассмотрен более подробно в следующем подразделе.

Декодер максимального правдоподобия с мягким решением может быть построен с помощью метрик такого типа. Декодер выбирает кодовое слово, находящееся на минимальном эвклидовом расстоянии [определенном формулой (1.36)] от принятого сигнала. Характеристика такого декодера оценивается с помощью аддитивной границы. Предположим, что в системе применяется когерентная ФМ с неквантованным выходным напряжением демодулятора. Тогда при использовании аддитивной границы нужно вычислить вероятность того, что расстояние между принятой последовательностью и некоторым кодовым словом веса меньше, чем расстояние до нулевого переданного слова. Эта вероятность зависит только от и от числа позиций, в которых эти два слова отличаются друг от друга. Это легко показать, записав эти кодовые слова в виде

Ясно, что те позиций, в которых оба кодовых слова равны О, дают одинаковый вклад при вычислении эвклидовых расстояний. Таким образом, эти позиции не влияют на вероятность ошибки и является вероятностью ошибки при различении двух кодовых слов, одно из которых состоит из нулей, а второе — из единии. Просуммировав значения на выходе демодулятора для этих позиций, получим новую случайную величину, среднее значение которой равно в зависимости от того, какой из символов (0 или 1) был передан, а дисперсия равна Поскольку демодулятор является когерентным и неквантованным, эта вероятность ошибки совпадает с (1.8), однако энергия должна быть увеличена в раз. Таким образом,

и аддитивная граница для вероятности ошибки последовательности имеет вид

Заметим, что параметр характеризует энергию, приходящуюся на один информационный символ. Аналогично можно получить оценку для средней вероятности ошибочного бита: