2.1.5. Дуальные коды

Рассматривая матрицы можно сделать следующее интересное замечание. Каждая из них содержит множество линейно независимых векторов. Таким образом, каждая из матриц может рассматриваться как базис некоторого линейного пространства. Кроме того, каждое из этих пространств является подпространством векторного пространства, состоящего из всех наборов длины Скалярное произведение каждой строки матрицы на каждую строку матрицы Н равно 0, т. е.

Таким образом, можно «поменять ролями» эти две матрицы и использовать Н как порождающую матрицу, как проверочную матрицу некоторого другого кода. Коды, связанные таким образом, называются дуальными друг другу. Векторное пространство, соответствующее матрице Н, будет называться нулевым пространством для векторного пространства, соответствующего матрице поскольку все векторы из одного пространства ортогональны всем векторам из другого пространства. Например, коды Хемминга являются нулевыми пространствами для так называемых кодов максимальной длины, которые будут рассматриваться позже в этой главе.

Между спектром кода и спектром двойственного кода имеется очень интересная связь. Эта связь оказалась весьма полезной при вычислении спектров многих блоковых кодов. Рассмотрим двоичный -код с весовой функцией и дуальный код с

весовой функцией Согласно тождеству Мак-Вильямс [10] и связаны равенством

С помощью поиска на ЭВМ в настоящее время удается найти спектр кодов для значений примерно равных 25. Значение равенства (2.5) состоит в том, что с его помощью нахождение спектра кода произвольной длины с 25 или меньшим числом проверочных символов сводится к нахождению спектра двойственного кода.