2.3.2. Коды Голея
Проводя поиск совершенных кодов, Голей заметил, что равенство (1.4) удовлетворяется при 
(см. [11]). Отсюда вытекает возможность существования совершенного 
-кода. Такой код действительно существует и является непримитивным кодом БЧХ, который строится следующим образом.
Пусть а — примитивный элемент 
Поскольку 
порядок 
равен 23. Код задается требованием, согласно которому 
должны быть корнями Корнями минимальной функции 
элемента 
являются
Заметим, что корнями 
являются, в частности, все элементы, которые должны быть корнями 
Поэтому 
. В зависимости от того, какой неприводимый многочлен используется для построения 
порождающий многочлен 
-кода Голея задается либо формулой
либо
Этот порождающий многочлен был получен исходя из требования, чтобы код БЧХ исправлял две ошибки. Алгоритм декодирования кодов БЧХ, который будет описан в гл. 5, обеспечивает исправление двойных ошибок. В действительности кодовое расстояние этого кода равно 7 и все тройные ошибки можно исправлять либо табличным поиском, либо с помощью одного из методов, описанных в следующей главе. Расширенный 
-код весьма полезен, поскольку для него 
Известен спектр этих кодов. Для 
-кода весовая функция
Отсюда легко получить весовую функцию расширенного 
-кода, поскольку вес любого кодового слова 
-кода, имеющего нечетный вес, увеличивается на 1, так что
Код Голея с параметрами 
-единственный известный нетривиальный совершенный двоичный код, исправляющий кратные ошибки. Другими известными двоичными совершенными
кодами являются коды Хемминга и коду с повторениями при нечетном 
Наконец, единственным известным недвоичным совершенным кодом является троичный [определенный над полем GF (3)] (11,6) - код Голея с d = 5.
