§ 10. Обобщения сравнений.

Переходя к обобщениям понятия о сравнении, остановимся прежде всего на так называемых сравнениях по двойному модулю, весьма важных для теории алгебраических чисел. Пусть простое число и есть целочисленная функция, простая по модулю (§ 5). Две целочисленные функции называются сравнимыми по двойному модулю если разность делится на по модулю (§ 5), т. е. если где целочисленные полиномы. Записывается так: Эти сравнения, подобно обыкновенным, можно складывать, вычитать и перемножать. Далее, двойной модуль обладает характером простого, т. е. из вытекает делимость одной из функций на модуль ; это следует из простоты функции по модулю (§ 5). Поэтому сравнения по двойному модулю можно и сокращать на полином, не делящийся на модуль. Полиномы, сравнимые по модулю , будем причислять к одному классу; аналогия с

обыкновенным модулем простирается здесь до того, что и число этих классов будет конечным. Именно, деля любой полином алгебраически на и в полученном остатке беря вычеты коэфициентов по модулю приходим к выводу, что каждый полином будет сравним по модулю с одним и только одним полиномом вида где с пробегают независимо друг от друга полную систему вычетов по модулю Итак, число различных классов полиномов по модулю равно Отсюда обычным путем получаем теорему Ферма для рассматриваемого модуля: для всякого целочисленного полинома имеет место сравнение Отметим еще обобщенную теорему Лагранжа: сравнение коэфициенты которого суть целочисленные полиномы, имеет не более несравнимых по модулю решений

Сравнения по двойному модулю позволяют подробнее изучить простые по модулю функции данной степени. Полагая в написанном выше сравнении Ферма имеем т. е. каждая простая функция степени делит по модулю выражение

Возвышая сравнение несколько раз в степень находим, что при всяком делящемся на Легко доказать и обратное предложение, т. е. что всякий показатель для которого делится на

Пусть для какого-нибудь имеем тогда из сравнений выводим Замечая, что при простом биномиальный коэфициент делится на имеем для всякого целочисленного полинома что вместе с дает Итак, сравнение удовлетворяется всяким целочисленным полиномом, т. е. это сравнение имеет различных решений; но степень его Таким образом предположение о неделимости на противоречит теореме Лагранжа и потому

Итак, полином делится по модулю на всякую простую функцию, степень которой есть делитель и других простых делителей не имеет. Наконец, легко видеть, что ни одна из указанных простых функций не входит в разложение с показателем, большим единицы, так как иначе его производная делилась бы на эту функцию, что невозможно. Все эти замечания позволяют установить в окончательном виде разложение на простые функции по модулю Именно, обозначая через произведение всех различных простых по модулю функций степени, имеем

где произведение берется по всем делителям числа Обозначим, следуя Гауссу, через количество различных простых по модулю функций (со старшим коэфициентом 1) степени Уравнивая в сравнении (17) степени по х в левой и правой части, получаем откуда по принципу обращения 3) находим для арифметической функции выражение где сумма берется по всем делителям числа Из полученной формулы, между прочим, вытекает, что для всякого целого выражение как как сумма или разность нескольких различных степеней простого числа не может быть равно нулю), существуют простые по модулю функции любой заданной степени. Наконец, из сравнения (17) путем того же принципа обращения получаем и произведение всех простых по модулю функций данной степени

причем легко убедиться, что выражение в правой части есть целочисленный полином от х.

Переходя к другому обобщению понятия о сравнениях, возьмем систему целочисленных линейных форм от переменных

с определителем Две целочисленные линейные формы от тех же переменных назовем сравнимыми по системе линейных форм если разность представляется в виде с целыми рациональными Будем записывать это так: Для нас важно доказательство следующей теоремы об этих сравнениях: если разбить все целочисленные линейные формы переменных на классы, соединяя в один класс все формы, сравнимые друг с другом по системе то количество этих классов будет конечным; именно, оно равно т. е. абсолютной величине определителя форм . Пусть к — одно из чисел Рассмотрим все целочисленные формы вида , сравнимые с нулем по модулю (такие формы существуют, например и выберем из них ту (или одну из тех) для которой имеет наименьшее положительное значение. Тогда у всякой другой формы рассматриваемого вида коэфициент а при делится на так как иначе можно подобрать линейную комбинацию целое число), сравнимую с нулем по модулю у которой коэфициент при будет больше нуля и меньше

Построенная таким образом система форм обладает следующим свойством: всякая целочисленная форма сравнимая с нулем по модулю представляется в виде с целыми рациональными Действительно, коэфициент при в форме должен делиться на обозначая частное от этого деления через

находим, что форма не содержит Следовательно, коэфициент при в форме должен делиться на обозначая частное от деления через составляем форму Из доказанного свойства форм вытекает, что все формы выражаются целочисленными линейными комбинациями форм но, и, обратно, так как то формы суть целочисленные комбинации форм Следовательно, определители форм могут отличаться только знаком, Рассмотрим систему форм где пробегают независимо друг от друга полные системы вычетов по модулям На основании свойства форм легко видеть, что написанные формы все несравнимы по модулю . С другой стороны, если дана любая форма то при надлежащем выборе целых чисел разность будет совпадать с одной из форм Итак, формы составляют полную систему вычетов по модулю число их равно

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)