§ 2. Преобразование бинарной формы в себя.

Решение, которое будет дано в § 3, 5, 6 для первого из поставленных выше вопросов об эквивалентности (узнать, эквиваленты ли данные формы таково, что в случае эквивалентности одновременно получается и подстановка, переводящая Поэтому второй вопрос об эквивалентности можно преобразовать так: известна одна подстановка определителя 1, переводящая форму найти все остальные подстановки этого рода. Очевидно, что если любая подстановка, переводящая форму в себя, то произведение подстановки на подстановку (§ 3 гл. II) принадлежит к числу подстановок Если то подстановка называемая обратной по отношению к 50, переводит при этом произведения равны единичной подстановке которую будем обозначать просто знаком 1.

Если любая подстановка, переводящая то переводит в себя и поэтому принадлежит к подстановкам откуда Итак, подстановки 5 совпадают со всеми подстановками вида и мы приходим к задаче: определить все целочисленные подстановки определителя 1, переводящие в себя данную форму Положим — целые числа, (каковое предположение необходимо лишь для случая, когда определитель есть точный квадрат) и Искомые целые числа должны определяться из условий

необходимых и достаточных для того, чтобы переводила в себя. Первая и третья из этих формул дают что вместе со второй формулой (3) дает Пусть общий наибольший делитель чисел Так как а то можно положить (ирационально) и тогда предыдущие формулы дают отсюда, так как — не имеют общего делителя, заключаем прежде всего, что — целое число. Подставляя полученные значения в первую формулу (3) находим откуда видно, что есть целое число, удовлетворяющее уравнению Итак, для коэфициентов находим формулы

Обратно, легко видеть (L.-Dirichlet l4, § 62), что при целых удовлетворяющих уравнению числа (4) будут целыми и удовлетворяют условиям (3). Итак, если есть целочисленная форма определителя то все подстановки определителя переводящие в себя, получаются по одному разу из формулы

когда и пробегают все решения уравнения Пелля При этом общий наибольший делитель чисел . Заметим, что При этом, если число, то есть общий наибольший делитель и Если же — нечетное, то т. е. есть целое число формы 1. По доказанному выше все подстановки, переводящие в другую форму имеют вид где одна из этих подстановок; соединяя это со сказанным в предыдущем параграфе о собственных представлениях числа формою получаем следующий результат: если существует одно собственное представление а, у числа формою принадлежащее к некоторому корню сравнения то все остальные представления а, у, принадлежащие к тому же корню, получаются из формул

где и пробегают все решения уравнения Пелля Очевидно, что при это уравнение имеет конечное число решений; именно, при два, при четыре и при шесть решений. Столько же будет и собственных представлений данного числа формою принадлежащих к заданному корню сравнения конечно, в предположении, что такие представления вообще существуют. В случае отличного от нуля и равного квадрату целого числа, уравнение Пелля также имеет конечное число решений. Наконец, при и не равном квадрату в § 12 гл. И было показано, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, и нам известно, как найти все эти решения, по крайней мере для случая в котором наше уравнение приводится к виду рассмотренному в § 12 гл. Заметим, что если известна какая-нибудь не тождественная подстановка переводящая форму в себя, то из формул (4) тотчас найдем некоторое не тривиальное решение уравнения Пелля

можно взять, например, Если поэтому иметь метод для определения подстановок то этот метод и все решения уравнения Пелля (см. дальше, § 5).