§ 10. Разложение квадратных иррациональностей в непрерывную дробь.

При разложении в непрерывную дробь квадратных иррациональностей, т. е. корней квадратных уравнений с целыми коэфициентами, Эйлер заметил, что непрерывная дробь оказывается всегда, начиная с некоторого места, периодической. Этот факт был доказан Лагранжем и составляет одно из самых замечательных открытий этого ученого в теории чисел. Желая доказать теорему Лагранжа, приведем

сначала формулы, по которым удобно производить на практике разложение корня квадратного уравнения в непрерывную дробь. Пусть

— квадратное уравнение с целыми, без общего делителя, коэфициентами и дискриминантом не равным полному квадрату. Корни этого уравнения будем называть иррациональностями определителя каждый из них имеет вид причем целые числа (равные — с для одного , с — для другого корня). Возьмем один из этих корней и разложим его в непрерывную дробь. Для перехода к первому полному частному нужно найти целое число для чего удобно пользоваться формулами

где

Эти формулы легко доказать. Положим так как каждое полное частное будет, очевидно, иррациональностью определителя то можни положить целые числа. Подставляя выражения в соотношение и отделяя рациональные и иррациональные части, находим рекуррентные соотношения для последовательного вычисления чисел

Последнее соотношение можно заменить таким:

Пусть есть подходящая дробь к числу ; возьмем формулу С. Смита [см. (14)] перейдя в ней к сопряженным иррациональным числам х, перемножим полученные формулы; тогда найдем

Но [на основании (43)],

откуда после сокращений получаем весьма важную формулу

где если корень уравнения (42), разлагаемый в непрерывную дробь, совпадает с если а

Назовем иррациональное число а определителя приведенным, если и сопряженное число отрицательно и по абсолютному значению меньше единицы. Для приведенного числа

и если обозначим через у целое число то

Обратно, при выполнении условий число будет приведенным. Неравенства показывают, что существует лишь конечное число приведенных чисел для данного определителя Если приведенное число, то будет также приведенным числом; в самом деле, переходя к сопряженным числам, имеем откуда Это показывает, что при разложении в непрерывную дробь приведенного числа х все полные частные будут также приведенными числами. Такая же правильность наблюдается и в обратную сторону: для данного приведенного числа X существует одно и только одно целое число а для которого будет приведенным числом; именно, это будет при Пусть приведенное число х разложено в непрерывную дробь так как все полные частные суть приведенные числа определителя а число таких чисел конечно, то при некоторых номерах имеем откуда по замеченному выше вытекает т. е. в ряду полных частных должно встретиться число Обозначая через к наименьшее число большее нуля, при котором видим, что ряд полных частных представляет бесконечно повторяющуюся группу и соответственно ряд неполных частных состоит из бесконечно повторяющейся группы чисел т. е. непрерывная дробь для х есть дробь чисто периодическая с периодом а Такую дробь обозначим символом

Пусть неприведенная иррациональность; легко видеть что полное частное при достаточно большом будет приведенным числом. В самом деле, при выражая через X, получаем

При достаточно большом разности будут сколь угодно близки к и поэтому будут одного знака, величина же будет сколько угодно большой по абсолютному значению; поэтому написанные выше формулы дадут

т. е. приведенное число. Полагая получаем для х смешанную периодическую дробь

Таким образом приходим к теореме Лагранжа:

Теорема 11. Всякая вещественная квадратная иррациональность разлагается в периодическую непрерывную дробь.

Обратно, легко показать, что периодическая непрерывная дробь представляет квадратную иррациональность; при этом значение чисто периодической дроби всегда равно приведенному числу (Perron69, стр. 80). Среди имеющихся в настоящее время многочисленных доказательств теоремы Лагранжа выделяется простотой доказательство Шарва (Charves) (Perron69, стр. 77).