§ 13. Вопрос Ивана Бернулли.

Иван Бернулли (астроном, внук математика Ивана Бернулли) в изданном им сборнике астрономических статей "Recueil pour les astronomestf (1772) указывает интересные правила для составления таблицы пропорциональных частей. Вопрос состоит в определении ближайших целых чисел к последовательным кратным данного числа Ближайшее целое число (т. е. число а, определяемое неравенствами Равно поэтому вопрос приводится к составлению ряда чисел

Очевидно, что при увеличении на единицу увеличивается либо на либо на Если будем иметь правила, указывающие когда нужно прибавлять и когда то величины

составятся путем одних сложений. И. Бернулли и дает эти правила, основанные на разложении числа в непрерывную дробь, но без доказательств. Доказательства правил И. Бернулли вместе с дальнейшими развитиями даны в статье А. А. Маркова, содержание которой мы и воспроизводим, ограничиваясь случаем иррационального

Приложим себе сначала составить для данного иррационального числа ряд чисел Без ограничения общности можно считать тогда равно или

нулю или единице. Ряд состоящий из нулей и единиц, Кристофель предложил называть характеристикой числа Если характеристика известна, то составление чисел приводится к одним сложениям. Очевидно, что характеристика числа вполне определяет это число. Для дальнейших цепей характеристику будет удобно писать также в другом виде, ставя вместо цифр 0 и 1 буквы так что ряд представится в виде некоторой последовательности букв Если в некотором месте этой последовательности стоит к раз подряд буква с, за нею I раз буква за нею раз буква с и т. д., то это будем писать сокращенно так: Пусть целое Для всякого целого имеем

где обозначает дробную часть числа х, т. е. разность Полагая и замечая, что Отсюда

и

таким образом из характеристики числа выделяется группа членов которую можно представить так: Замечая, что при получаем начиная с члена следующий состав характеристики: Что касается группы членов то на основании равенств видим, что эта группа имеет вид Пусть характеристика числа написанная в виде нулей и единиц, так что Тогда и характеристика представится так: Отсюда получаем такую связь между характеристиками чисел характеристика получается из характеристики числа если заменить в последней каждую букву с группой каждую букву группой и приписать слева группу Обозначая знаками характеристики можем это правило наглядно записать так: Пусть, далее, целое Обозначая через характеристику найдем по предыдущему где Эти группы при подстановке вместо групп перейдут в группы и мы получаем Продолжая так дальше, получаем следующее правило для составления характеристики числа пусть — иррациональное

число, лежащее между нулем и единицей, и разложение его в непрерывную дробь; составим последовательно группы

Тогда характеристика числа изобразится рядом

Например, для числа группы (49) имеют вид

так что характеристика будет что дает такую таблицу:

Переходя к вопросу И. Бернулли, положим для иррационального , лежащего между и назовем ряд составленный из нулей и единиц (аналогичный характеристике), рядом И. Бернулли. Ряд Бернулли, подобно предыдущему, будем также писать в виде последовательности букв Из тождества видно, что ряды Бернулли для чисел находятся в очень простой связи; именно, каждой букве с или в первом ряду соответствует буква или С во втором. Поэтому можно предполагать Пусть — целое Тогда из равенства аналогично предыдущему находим

откуда видно, что часть ряда Бернудли имеет состав Обозначая через характеристику числа написанную в виде нулей и единиц, и замечая, что получаем такой вид ряда Бернулли для числа Это приводит к следующему правилу для составления ряда Бернулли. Пусть иррациональное число, лежащее между Составим характеристику числа указанному выше правилу и члены этой характеристики

разобьем на группы по два: Каждую такую группу заменим через если она вида через если она вида или через если она вида обозначает целое число и к полученному ряду припишем слева группу Последовательность букв полученная таким образом, и будет рядом Бернулли для числа Например, для имеем и на основании предыдущего примера находим для ряд Бернулли что дает такую таблицу:

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)