§ 3. Теорема Раманужана.

Раманужан (см. 72, стр. 211) заметил следующее интересное свойство функции

Теорема 21. Если целое число, составленное исключительно из простых множителей 5, 7 и 11 (т. е. то для всякого удовлетворяющего сравнению имеем

Заметим прежде всего, что справедливость теоремы Раманужана для модуля будет установлена, если доказать ее отдельно для модулей вида Полного доказательства этой теоремы до сих пор не дано; сам Раманужан и последующие ученые доказали ее лишь для случаев а (см. Ramanujan 72, стр. 211). Метод их доказательства аналитический и основан на рассмотрении некоторых модулярных уравнений. Изложение этих доказательств читатель найдет в работе В. А. Кречмара

Для случаев теорему Раманужана можно доказать и арифметическим путем, основываясь на теоремах о разбиениях, изложенных в предыдущих параграфах. Пусть простое число и данное целое число; на основании формулы (8) § 2 легко получить следующее выражение для

где суммы одинаковых или различных слагаемых, суммы различных слагаемых; каждая из этих сумм может отсутствовать. Действительно, собирая в правой части (18) те члены, для которых величины имеют одну и ту же систему значений, находим, что эта часть суммы (18) равна произведению сумм

и потому на основании (8) равна нулю во всех случаях, кроме Поэтому значение суммы Переставляя в представлении

первых сумм циклически, получаем из этого представления других представлений. Так как простое число, то среди представлений (19), отличающихся друг от друга циклическими перестановками сумм 2» могут встретиться одинаковые представления только в том случае, когда все суммы тождественно равны, т. е. каждое слагаемое одной суммы совпадает с каждым слагаемым любой другой суммы. Поэтому из (18) получаем сравнение

Положим для всякого

Тогда сравнение (20) можно написать так:

причем в правой части сумма продолжается до тех пор, пока аргумент функции остается неотрицательным; из сравнения (22) при помощи формулы обращения (12) получаем

Сравнения (22) и (23) показывают, что если для всякого удовлетворяющего условию имеем то тем же свойством обладает и функция и обратно; поэтому теорема Раманужана для модуля равносильна утверждению для всякого при котором Применив в (21) теорему Эйлера-Лежандра, получаем для выражение

которое можно представить так:

Для дальнейшего преобразования полученного выражения воспользуемся теоремой Якоби (17). Так как сравнение входящее в теорему Раманужана, исключает возможность то можно считать и тогда или Полагая в первом случае получаем из (24) на основании теоремы Якоби

Во втором случае, когда , полагаем и получаем из (24)

Полученные выражения для и дают возможность доказать теорему Раманужана для простейших случаев Именно, при формула (26) дает»

причем сумма берется по всем представлениям ; так как и есть квадратичный невычет , то в каждом представлении числа делятся на , следовательно, и . Аналогично при формула (25) дает

где сумма берется по всем представлениям из данного сравнения вытекает опять, что и потому в каждом представлении числа делятся на 7, следовательно,

Изложенный метод доказательства теоремы Раманужана принадлежит Успенскому.