§ 2. Соотношения Кронекера между числами классов.

В 1857 г. Кронекер опубликовал восемь замечательных рекуррентных соотношений для числа классов бинарных форм отрицательного определителя, полученных им из рассмотрения некоторых модулярных уравнений в теории эллиптических функций. Другое доказательство этих соотношений, хотя также основанное на теории эллиптических функций, но более простое, чем у Кронекера, было предложено Эрмитом. Обобщая методы Кронекера и Эрмита, другие авторы (Гирстер, Клейн, Гурвиц, Гумберт) получили множество новых формул такого же типа. Позднее были найдены и чисто арифметические пути для получения соотношений между числами классов. Прежде всего сам Кронекер в мемуаре "Uber bilipieare Formen mit vier Variabeln" (см. 36) получил часть своих соотношений, рассматривая эквивалентность билинейных форм и определяя число классов таких форм двумя разными способами. Далее Лиувилль в письме к Эрмиту указал, что соотношения, о которых идет речь, могут быть выведены из его числовых тождеств (§ 4 гл. V), и обрисовал в общих чертах ход

рассуждения. Наконец, Успенский 64 дал полный вывод всех соотношений Кронекера, Гирстера, Гурвица и др. при помощи методов Лиувилля; мы воспользуемся его изложением для вывода наиболее йажных из соотношений Кронекера.

Пусть данное целое число. Обозначим через число решений неопределенного уравнения в положительных целых числах при условиях — нечетное. Таким образом в обозначениях предыдущей главы

Полагая при нечетные числа и 8 равными получим из уравнений следующие:

так что число решений с можно представить в виде

Точно так же, полагая при

найдем, что число решений с равно

так что для полного числа решений получаем выражение

Так как уравнение симметрично относительно , то число решений этого уравнения, в которых к имеют различные положительные значения, равно шестикратному числу решений, в которых каждому же решению последнего вида соответствует форма определителя для которой Далее каждому решению и, для которого соответствует форма для которой наконец решению, для которого соответствует форма в которой Следовательно,

Замечая еще, что получаем из (3)

Обозначая, с другой стороны, через число классов положительных форм определителя — и припоминая условия приведения таких форм [неравенства (8) § 3 гл. IV], можем написать

Сличая это с (4), получаем, что Введем теперь числовую функцию отличающуюся от только в случаях или [формулы (60) § 16 гл. IV]. Тогда получим окончательный результат

Обозначим еще через число тех классов определителя в формах которых хоть один из крайних коэфициентов нечетный, и введем по формуле (60) § 16 гл. IV числовую функцию отличающуюся от только в случае, когда есть нечетный квадрат; тогда аналогичным рассуждением получим для всякого

Определения функций дополним еще для аргумента положив

Приступая к выводу соотношений Кронекера, обозначим через данное целое число, через данную четную функцию и через любую пару положительных нечетных чисел, удовлетворяющих условию Применив формулу (40) § 4 гл. V к числу к нечетной функции получим

Суммируя эти равенства для всех пар положительных нечетных чисел удовлетворяющих условию получим

Так как в разбиении число может быть как больше, так и меньше нуля, то правую часть (7) можно представить в виде

Часть этой суммы, соответствующую некоторому постоянному значению можно представить в виде где четная функция, и сумма берется по всем представлениям применяя формулу (50) § 4 гл. V, получим для этой суммы выражение

что позволяет представить правую часть (7) в виде

Итак, формула (7) дает

Положим в этом тождестве при такой выбор функции не противоречит условию четности этой функции.

Так как то в левой части (8) при таком выборе получится число решений неопределенного уравнения относительно удовлетворяющих условиям Пользуясь формулой (6), находим, что это число решений равно сумме взятой по всем для которых Правая часть (8) при

указанном выборе обращается в Обозначая множители в произведении через можем написать

Соединяя вместе все сказанное, получаем из (8) первое рекуррентное соотношение для функции

Для вывода второго соотношения возьмем опять целое число и четную функцию исходя из формулы (41) § 4 гл. V, получим аналогично предыдущему

Правая часть здесь упрощается при помощи формулы (51) § 4 гл. V, после чего равенство принимает вид

Полагая здесь опять при получим после простых преобразований второе рекуррентное соотношение для

Исходя из формулы (40) § 4 гл. V, получим для данного числа и четной функции

Первая сумма в правой части упрощается на основании тождества (48) § 4 гл. V, и написанное равенство принимает вид

Полагая здесь при и пользуясь формулой (5), найдем

причем обозначает, как обыкновенно, сумму делителей Таким же образом выводится соотношение

Соотношения (9) и вместе с теоремой Якоби о количестве представлений суммой четырех квадратов (теорема 23 § 5 гл. V) позволяют прежде всего доказать снова теорему Гаусса о количестве представлений числа суммой трех квадратов [теорема 18 или равенство (67) § 16 гл. IV]. Именно, из (9) и (11) путем простых преобразований выводим

С другой стороны, обозначая через количество представлений суммой трех квадратов, так что на основании теоремы Якоби можем написать

сравнивая это с предыдущим равенством, получим

откуда методом совершенной индукции получаем для всякого

т. е. формулу (67) § 16 гл. IV. Складывая формулы (9) и (10), заменяя в полученной формуле на и сравнивая результат с (9), найдем

откуда для всякого выводим Это свойство функции было доказано в § 16 гл. IV [формула (66)] при помощи гауссовой теории квадратичных форм. Далее обозначим через любое нечетное число; так как в уравнении все числа одновременно или четные или нечетные, то на основании теоремы 23 Якоби можем написать

С другой стороны, вычитая из формулы (9) формулу (10) и полагая в полученном равенстве найдем

сравнение этого с предыдущим равенством дает

откуда для всякого выводим Сличая это с (13), получаем для

Точно так же можно доказать и все остальные соотношения между функциями перечисленные в § 16 гл. IV [формулы (62), (64) и (66)].

Из полученного сейчас результата выведем еще одну нужную для нас формулу. Считая , рассмотрим сумму

очевидно, что

Для первой суммы сложением (9) и (10) находим выражение

Во второй сумме — все аргументы функции имеют форму поэтому, пользуясь доказанным сейчас результатом , можем написать

Замечая, что при в уравнении среди чисел всегда три нечетных, а четвертое — удвоенное нечетное чисяо, получаем на основании теоремы Якоби

- Этот результат вместе с формулой (14) дает окончательно

Исходя из формулы (40) § 4 гл. V, получим для целого и четной функции

Упростив первую сумму в правой части при помощи тождества (53) § 4 гл. V, получим

Полагая здесь, как обычно, для остальных значений х, получим

причем изображает число решений уравнения в положительных нечетных числах удовлетворяющих условию Сравнение полученного равенства с формулой (15) дает

откуда для всякого т. е.

Этот результат можно было бы вывести и непосредственно таким же рассуждением, каким мы пользовались в начале этого параграфа. Наконец, пользуясь сначала формулой (41), потом формулой (54) § 4 гл. V, получим обычным способом равенство

Полагая в нем и пользуясь формулой (16), найдем

Выведенные нами соотношения (9), (10), и (17) эквивалентны семи первым соотношениям Кронекера; восьмое его соотношение имеет более сложный вид:

причем в левой части сумма берется по всем нечетным для которых и число целое. Доказательство этой формулы читатель найдет в уже цитированном мемуаре Успенского § 12).

Кронекер применит свои соотношения к решению вопроса, указанного в § 5 гл. I, т. е. к выводу практически удобного правила для определения знака сравнении при простом формы . В § 5 гл. I уже было показано, что есть количество чисто коренных классов форм определителя Из соотношений (9) и (10) находим для величины следующее выражение:

Для определения четности этого числа остается решить вопрос: для каких аргументов значение функции будет четным и для каких нечетным? Для этого, пользуясь условиями приведения положительных форм [неравенства (8) § 3 гл. IV], напишем выражение

причем в правой части отброшены приведенные формы вида и так как крайние коэфициенты этих форм при четные; отсюда получаем сравнение , где есть число делителей Принимая во внимание известное выражение для (§ 2 гл. I), находим, что при будет нечетным тогда и только тогда, когда аргумент имеет форму причем простое число (очевидно, формы Соединяя это

с формулой (19), получаем окончательно следующий критерий Кронекера: при простом в сравнении имеет место знак или смотря по тому, будет ли количество представлений в виде целые числа, — простое число) четным или нечетным.