§ 9. Симметрические непрерывные дроби.

Непрерывная дробь называется симметрической, если ряд чисел совпадает с рядом Полагая находим по так что для симметрической дроби обратно, при выполнении этого условия дробь будет, очевидно, симметрической. Пользуясь равенством легко преобразовать условие в такое: для того чтобы число представлялось в виде симметрической непрерывной дроби, необходимо и достаточно, чтобы .

Рассмотрим какую-нибудь симметрическую непрерывную дробь неполными частными. Если нечетное, большее единицы, то ряд неполных частных этой дроби имеет вид Полагая имеем

откуда

(так как числа очевидно, взаимно простые). Из формулы того, что вытекает, что есть число составное. Итак, если симметрическая непрерывная дробь с нечетным, ббльшим чем 1 числом

элементов и первым элементом, большим или равным 2, представлена в виде обыкновенной дроби, то числитель ее не может быть простым числом. Пусть теперь число элементов дроби есть число четное; тогда ряд этих элементов имеет вид Полагая находим

Итак, числитель симметрической дроби с четным числом неполных частных есть сумма двух квадратов. На этих замечаниях о симметрических непрерывных дробях основано весьма простое и изящное доказательство теоремы Ферма о простых числах вида (§ 8), принадлежащее С. Смиту. Пусть есть простое число. Разложим числа

в непрерывные дроби так, чтобы последние элементы в этих дробях были больше или равны 2. Так как все то и первые элементы во всех дробях будут больше или равны 2, и так как простое, то число элементов в каждой не рерывной дроби будет больше или равно 2. Пусть одна из указанных непрерывных дробей. Легко видеть, что дробь и также равна одному из чисел в самом деле, числитель ее равен числителю дроби т. е. Знаменатель же дроби равен числителю предпоследней подходящей и дроби из вытекает так как то равно одному из чисел Итак, вместе с дробью к ряду чисел а принадлежит и обратная дробь Но так как число этих дробей нечетное, то среди них должна встретиться симметрическая непрерывная дробь Число не может быть нечетным, так как числитель есть число простое; следовательног четное и есть сумма двух к адратов. Это доказательство не предполагает даже возможности сравнения