§ 16. Разложение чисел и бинарных форм на сумму трех квадратов.

Приложим общую теорию представления чисел и бинарных форм тройничною формою (§ 14) к частному случаю Рассмотрим сначала собственные представления данной бинарной формы Для существования их должна быть положительной, коренной и иметь — 1 характеристическим числом. Обозначая определитель через и припоминая результат § 12, можем сказать, что либо (и тогда у — чисто коренная), либо (и тогда не чисто коренная). В обоих случаях должна принадлежать к вполне определенному роду для которого значения родовых характеров имеют вид выполнении этих условий система (49) § 14 имеет решений (§ 12); далее тройничная

форма составляемая по правилу II § 14, будет всегда целочисленна и эквивалентна Предполагая и принимая во внимание, что форма имеет 48 преобразований в себя (§ 13), можем сказать на основании замечаний 1 и 2 § 14, что имеет собственных представлений через Этот результат, как легко видеть (Gauss, 20, D. A., art. 290), справедлив и для исключенных случаев Итак: для существования собственных представлений данной положительной бинарной формы у определителя суммой трех квадратов необходимо и достаточно, чтобы или и тогда у должна принадлежать к роду чисто коренного порядка; либо и тогда должна принадлежать к роду не чисто коренного порядка, причем в обоих случаях определяется значениями характеров все нечетные простые делители При выполнении этих условий количество собственных представлений суммой трех квадратов равно Отсюда по методу § 14 легко вывести количество собственных представлений данного числа суммой трех квадратов. Так как форма совпадает со своей союзной, то вопрос приводится к рассмотрению собственных представлений бинарных форм определителя через Следовательно, для существования собственных представлений должно быть или легко видеть и непосредственно из уравнения при не имеющих общего делителя). Пусть все неэквивалентные бинарные формы рода определителя предполагая отличным от 1 и 3, можем сказать, что каждая из форм переводится в себя только двумя подстановками Поэтому по правилу § 14 из собственных представлений через нужно удержать половину; замечая, наконец, что число форм равно при и при количества чисто и не чисто коренных классов), получаем следующую теорему Гаусса

Теорема 18. Количество представлений данного числа суммой трех квадратов, не имеющих общего делителя, равно при при . При этом суть числа чисто и не чисто коренных классов положительных форм определителя число предполагается отличным от 1 и 3.

Для количества собственных представлений формой суть соответственно 6 и 8, так что для этих случаев теорема не верна. Еще Ферма заметил (в другой только форме) возможность представления числа вида суммой трех квадратов (так называемая теорема Ферма о фигурных числах, см. примечания к этой главе). Точное количество представлений для случая простого было найдено по индукции Лежандром (см. 39, стр. 338); но ни Ферма, ни Лежандр не дали строгого доказательства своих утверждений, и впервые оно было дано Гауссом. Другое доказательство теоремы 18, основанное на методах Лиувилля, будет изложено в главе VI. Нужно отметить, что

до сих пор не дано короткого и простого (т. е. независимого от теории квадратичных форм) доказательства хотя бы только возможности представления данного числа формы или суммой трех квадратов (см. примечания к этой главе, стр. 155).

Теорема 18 позволяет найти количество всех представлений данного числа суммой трех квадратов (при этом, как обычно, два представления считаются одинаковыми только при Чтобы получить законченное выражение для величины введем две новых числовых функции и следующим образом. Пусть есть число всех классов положительных бинарных форм определителя есть число классов, на которые распадаются формы с нечетным делителем (т. е. формы, у которых хоть один из крайних коэфициентов нечетный). Положим для всякого

причем знак изображает при равном нечетному квадрату, и 0 в остальных случаях; другие знаки имеют аналогичное значение. С функциями нам постоянно придется иметь дело в гл. VI. Обозначая через к число чисто коренных положительных классов форм определителя — можем написать для всякого

где сумма берется по всем нечетным квадратным делителям 8 числа Отметим теперь несколько важных соотношений, существующих между функциями и непосредственно вытекающих из теорем 14, 15 и 18. При у каждой формы определителя по крайней мере один из крайних коэфициентов нечетный, следовательно, принимая во внимание формулы (60), (61) и теорему 18, находим

При имеем

причем обе суммы берутся по всем квадратным делителям обозначает число не чисто коренных положительных классов определителя — Пусть сначала ; тогда очевидно, не представляется суммой трех квадратов. Кроме того, по теореме 14 имеем так что окончательно

Аналогично из теоремы 14, 18 и формул (60), (61), (63) получаем

Пусть, наконец, делится на 4, т. е. Из уравнения вытекает, что все числа четные, так что применяя далее теорему 15, получаем для всякого

Все рассмотренные случаи можно соединить вместе и высказать следующий результат: количество представлений суммой трех квадратов выражается при всяком

где функции определяются формулами (60).

Обращаясь к определению количества всех представлений данной положительной бинарной формы

суммой трех квадратов, ограничимся случаем, когда первый коэфициент к не делится на квадрат. При таком предположении общий наибольший делитель и к можно представить в виде где произведение тех простых чисел которые входят в с четным показателем произведение простых чисел входящих в с нечетным показателем Далее обозначим через произведение простых чисел делящих к и но не делящих к. В случае, когда простых чисел какого-либо типа нет вовсе, соответствующее число считаем равным единице. Положим

Числа все положительные и, как легко видеть, попарно взаимно простые. Теперь можем формулировать следующую теорему Венков 96): для того чтобы форма (68) представлялась в виде суммы квадратов трех целочисленных линейных форм переменных х, у

необходимы и достаточны следующие условия: 1) числа - должны быть квадратичными вычетами соответственно для каждый нечетный простой множитель из для которого должен входить в с четным показателем. При выполнении этих условий количество представлений формы (68) в виде (70) равно

где как всегда, — число различных нечетных простых делителей а сумма берется по всем нечетным делителям числа

Доказательство этой теоремы основано на изложенном в § 14 методе Гаусса для определения несобственных представлений формы (68) через

Согласно этому методу, для того чтобы получить все представления (68) в виде (70), принадлежащие к заданному квадратному делителю числа нужно преобразовывать форму (68) всеми подстановками вида в форму определителя и удержать те подстановки для которых форма целочисленна и обладает собственными представлениями через Если число таких подстановок обозначим через то число всех представлений формы (68), принадлежащих к делителю будет на основании теоремы в начале этого параграфа равно 24-2; искомое же число всех представлений изобразится суммой взятой по всем квадратным делителям числа

Так как число по предположению, не имеет квадратных делителей, то для целости первого коэфициента необходимо, чтобы . Тогда коэфициенты имеют значения:

Если форма целочисленна, то для существования собственных представлений ее суммой трех квадратов она должна удовлетворять следующим условиям (теорема в начале этого параграфа): 1) она должна быть коренной, 2) число должно быть или ; в последнем случае должна быть не чисто коренной, 3) для каждого нечетного простого числа из должно быть если делит А, и 1, если не делит Для упрощения этих условий заметим, что условие 2 при соблюдении условий 1 и 3 может быть заменено таким: . Действительно, при не делящемся на 4, либо , либо ; во втором случае форма не, может быть чисто коренной, так как иначе произведение характеров соответствующих простым входящим в с нечетным показателем, было бы равно на основании условия что противоречит соотношению между родовыми характерами в чисто коренном порядке [формула (36) § 12]. Таким образом при должна быть не чисто коренной формой; применяя к ней соотношение между родовыми характерами в не чисто коренном порядке [формула (37) § 12], получаем, на основании условия откуда ; итак, условие 2 вытекает из утверждения .

Таким образом мы должны величины подбирать так, чтобы коэфициенты формы 9 определяемые равенствами (72), удовлетворяли следующим условиям: а) числа целые, не имеют общего делителя, с) для всякого нечетного

простого из или смотря по тому, будет ли или Из (72) видно, что если удовлетворяет условиям а) и то каждый простой множитель а, общий делит и притом так, что не делится на (последнее вытекает из равенства обратно, если содержит каждый простой множитель общий делится на то форма гели целочисленна будет коренной. Припоминая определение чисел [см. (69)], можем положить причем есть квадратный делитель так что Так как не делится на квадрат и взаимно просто с то условие с) для формы у, т. е. , равносильно такому: . Далее условие для распадается квадратичный вычет (что равносильно условию 2 в формулировке теоремы) и квадратичный вычет Переписав равенство в виде видим, что условие равносильно такому: квадратичный вычет (см. условие 1 в формулировке теоремы). Очевидно, что все эти условия (выписанные в предположении, что форма целочисленна) не налагают никакого ограничения на величину Я в формулах (72); эту величину мы и подберем так, чтобы были целыми. Так как и эта величина делит то все Я, для которых В целое, имеют вид: где К — наименьшее из этих значений Полагая и замечая, что взаимно просто с находим, что коэфициент С будет целым одновременно с числом

Так как делится на то что определяет вычет по модулю Далее для целости (73) необходимо, чтобы или — было квадратичным вычетом числа (см. условие 1 в формулировке теоремы). При выполнении этого условия существует значений по модулю для которых (73) будет столько же подстановок (для данного ), при которых форма будет целочисленна и удовлетворяет всем поставленным выше условиям. Полное число представлений формы (68) суммой трех квадратов выражается так:

причем последняя сумма берется по всем представлениям в форме для которых не делится на квадратичный вычет Эту сумму уже легко преобразовать в выражение (71).

Доказанная сейчас теорема получит важное применение в гл. VI при доказательстве так называемых формул Дирихле.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)