§ 8. Порядки форм; представление чисел полной системой неэквивалентных форм данного порядка

В дальнейшем будем рассматривать исключительно целочисленные формы с определителем не равным полному квадрату (и, следовательно, не равным нулю). Пусть общий наибольший делитель чисел с для формы определителя Совокупность форм с одними и теми же и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэфициентов а, с называется порядком форм по Гауссу . Так как а и знаки при не меняются при переходе от формы к валентной ей форме, то порядок является совокупностью нескольких класс в. При формы и порядок называются чисто коренными (formae proprie primitivae по Гауссу, по современной немецкой терминологии), при не чисто коренными (improprie primitivae, uneigentlkh primitive). Раньше (§ 2) было замечено, что либо

- целое, либо — целое число вида в первом случае форма будет чисто коренной, во втором — форма не чисто коренная. Форма при

называется простейшей (forma simplicissima). Наконец, форма называется главной формой (forma principalis), и ее класс — главным классом определителя Рассмотрим чиао коренной или не чисто коренной (по произволу) порядок определителя положительный при и возьмем из каждого класса этого порядка по одной форме. Эти формы представляют полную систему неэквивалентных форм данного порядка. При все а по предположению, больше нуля; при можем также считать 0, зяменяя в противном случае эквивалентною ей формою. Пусть целое число, для которого где для чисто и для не чисто коренного порядка. Под количеством представлений системою форм понимать сумму количеств представлений всеми отдельными формами представляющие числа будут подчинены еще некоторым неравенствам): то же относится и к собственным представлениям. Для существования собственных представлений формами необходимо, чтобы было квадратичным вычетом (§ 1); предполагая это условие выполненным, возьмем какой-нибудь корень сравнения Полагая из условия видим, что общий наибольший делитель равен о; следовательно, форма принадлежат к рассматриваемому порядку и потому эквивалентна одной из форм Если пробегает все подстановки, переводящие то числа а, у дадут все собственные представления формою принадлежащие к корню (§ 1). Количество таких представлений при вообще равно 2, при равно 4 и при равно 6 (§ 2); при количество собственных представлений формой принадлежащих к одному и тому же корню сравнения бесконечно, и все они получаются из одного а, у по формулам (6) § 2, в которых а, с нужно заменить коэффициентами формы обозначают все решения уравнения Чтобы выбрать из этих представлений одно определение, заметим, что

и на основании формул (6) § 2 и (15) § наименьшее решение уравнения имеем

Знак показатель к определяются однозначно из условия

из которого на основании (23) вытекает

т. е. из этих неравенств, как легко видеть, вытекают неравенства (24). Итак, полагая при при для остальных для можем сказать, что число для которого есть квадратичный вычет, обладает собственными представлениями системою флрм где число различных нечетных простых делителей причем в случае представляющие числа а, у подчинены указанным выше линейным неравенствам. Пусть теперь дано целое число с единственным условием соединяя в одну группу все представления системою форм у которых представляющие числа имеют один и тот же общий наибольший делитель (очевидно, нечетный находим, что количество всех представлений системою форм выразится так: где сумма берется по всем квадратным делителям 8 числа для которых есть квадратичный вычет числа Рассуждая так же, как в гл. II [§ 8, 1)], получим к где сумма берется по всем нечетным делителям числа Итак, получаем теорему: пусть дана полная система неэквивалентных форм чисто или не чисто коренного порядка определителя с положительными первыми коэфициентами и число для которого в случае чисто в случае не чисто коренного порядка. Количество представлений системою форм равно сумма берется по всем нечетным делителям числа указано выше. При этом, в случае к каждому из уравнений присоединяются добавочные условия Ту. Аналитическое истолкование факта, выражаемого этой теоремой, привело Дирихле к выводу его знаменитых формул для числа классов бинарных форм (см. § 3 гл. VI). В частных случаях 1) система форм содержит только одну форму, за которую можно взять 1) и получаем снова теоремы, доказанные прежде другим методом (§ 8 гл. II, 1—4 и § 4 гл. III). Впрочем, неравенства данные для формы в § 8 гл. II, не совпадают с неравенствами получаемыми из теоремы этого параграфа; но связь между теми и другими легко проследить.