§ 2. Простейшие арифметические функции.

Пусть целое число; рассматривая все положительные делители обозначим через их число и через их сумму. Полагая на основании теоремы где различные простые числа, а а — положительные показатели, находим

Еще в древности (Евклид 85, кн. VII) был поставлен вопрос о нахождении чисел равных сумме своих правильных делителей [т. е. делителей меньших так что Такие числа называются совершенными. Евклидом же доказана и единственная до сих пор известная теорема о совершенных числах, по которой все четные совершенные числа имеют вид при простом. Для простоты необходимо, чтобы показатель был простым, но это условие недостаточно. Еще Эйлеру были известны восемь значений показателя при которых простое число, именно, значения (см. Euler17, т. I, стр. 1 и 584). Соответственно этому, Эйлер знал восемь четных совершенных чисел; нечетных совершенных чисел неизвестно ни одного, но и не доказано, что их не существует (см. примечания к этой главе).

В аналитической теории чисел важное значение имеет функция Мёбиуса определяемая для если

хот одно из чисел при при этом Легко доказывается основное свойство

где сумма берется по всем делителям числа Отсюда получается важная формула обращения: если функция для всякого целого выражается через значения другой функции по формуле обратно, для всякого причем обе суммы распространяются на все делители числа или, что то же, на все представления в виде произведения двух целых положительных множителей

Обозначим через количество чисел, меньших пи с ним взаимно простых эта функция введена Эйлером (см. стр. 127). Выражение в простых множителях числа следующее:

Классический способ доказательства этой формулы (L.-Dirichlet14, § 11) И. М. Виноградов предложил заменить следующим, более простым: пусть если целое число делится на простое число в противном случае. Тогда

При помощи (3) (или непосредственно) выводится важное свойство функции :

Все четыре введенные нами функции удовлетворяют функциональному уравнению при взаимно простых тип. Рассмотренные в этом параграфе выражения представляют простейшие арифметические функции,

величины, определяемые для целочисленного аргумента Изменения их с возрастанием аргумента отличаются чрезвычайной прихотливостью. Одна из этих функций, именно более изучена благодаря связи ее с представлением чисел суммой четырех квадратов в замечательной формуле Эйлера (гл. V, теоремы 20 и 23); природа же остальных функций: остается для нас неизвестной. В дальнейших главах этой статьи читатель встретит много примеров других арифметических функций.