§ 3. Теорема Эрмита.

В письмах к Якоби Эрмит (Hermite, см. стр. 103) высказал теорему: во всякой квадратичной форме с вещественными коэфициентами и определителем переменным можно придать такие целые, не равные одновременно нулю, значения, при которых по численной величине будет меньше Здесь зависит только от но не от коэфициентов формы. Эрмит дает величину и предполагает, что ее можно понизить до

Пусть где линейные формы переменных с вещественными коэфициентами и определителем положительные или отрицательнее числа, связанные соотношением Обозначая через произвольные положит льные числа, произведение которых равно единице, можем найти по теореме Минковского целые значения не равные одновременно нулю, для которых следовательно, Остается подобрать для такие значения (связанные уравнением при которых правая часть последнего неравенства будет наименьшей; это будет, как легко видеть, тогда, когда все слагаемые суммы между собою равны и,

следовательно, каждое из них равно Итак, получаем теорему Эрмита с постоянной

Что касается определения точного верхнего предела минимума квадратичной формы с переменными для целых значений переменных, то эти пределы для положительных форм при даны Коркиным и Золотаревым (см. 98, вып. I, стр. 7,66, 109, 375), для неопределенных форм при даны А. А. Марковым Мы остановимся только на случае Если квадратичная форма подстановкой переходит в форму то коэфициенты с имеют значения

Эту подстановку будем обозначать в дальнейшем через Число (определитель формы связано с соответствующим числом формы соотношением где Если преобразуется в подстановкой преобразуется в подстановкой то преобразуется в подстановкой называемой произведением подстановок

Если коэфициенты подстановки переводящей суть числа целые, то по терминологии Гаусса содержит . В этом случае каждое число, представляемое формой при целых значениях переменных представляется и формой при целых x, у. Если, наконец, целые числа а, связаны соотношением то формы имеют одинаковые определители и каждая из них содержит другую, т. е. системы чисел, представляемых этими формами при целых значениях переменных, совпадают; формы называются эквивалентными. Все эти определения, принадлежащие гауссовой теории квадратичных форм (см. главу IV), переносятся без труда на формы с любым числом переменных.

Пусть k — целое число. Подстановка переводит форму в форму Эта форма называется соседней с справа (contigua a parte ultima по Гауссу). Зависимость между при с можно охарактеризовать так: имеют одинаковый определитесь и есть число целое. Аналогично, форма одного определителя с такая что целое, будет соседней с слева (contigua a parte prima). Очевидно, что форму соседнюю с справа, можно выбрать так, чтобы средний коэфициент ее был по абсолютному значению меньше или равен

Пусть бинарная форма с произвольными вещественными коэфициентами. Предположим сначала, что положительная форма, т. е. . Составим ряд форм

каждая из которых соседняя справа по отношению к предыдущей. Средние коэфициенты этих форм выбраны по условию Каждая из форм ряда (8), очевидно, эквивалентна первой, мы утверждаем, что в этом ряде должна найтись форма для которой В противном случае мы имели бы что невозможно, так как суть значения, принимаемые формой при некоторых целых аргументах, а таких значений, меньших положительная форма может иметь лишь конечное число. Итак, приходим к выводу, что для всякой положительной формы можно подобрать эквивалентную форму коэфициенты которой удовлетворяют условиям

Это так называемые лагранжевы условия приведения. Из равенства находим откуда Итак: для всякой положительной бинарной формы определителя можно укадать такие целые, равные одновременно нулю, значения переменных, для которых Этот предел точный, так как форма определителя не может быть сделана меньше Для целых х, у, не равных одновременно нулю.

Если неопределенная форма, т. е. то мы исключим из рассмотрения случай, когда обращается в нуль для какой-нибудь пары целых значений переменных, нервных одновременно нулю. Тогда в форме (и во всякой форме, ей эквивалентной) крайние коэфициенты будут не равны нулю. При таком предположении относительно имеет место теорема: можно дать переменным х, у такие целые, не равные одновременно нулю, значения, при которых Этот предел опять точный, так как форма определителя имеет, как легко видеть, минимум (для целых х, Формулированная теорема (принадлежащая А. Н. Коркину 98, вып. II, стр. 332) будет доказана ниже (§ 4 гл. IV).