§ 11. Сравнение чисел классов для определителей, отличающихся на квадрат.

Теория композиции позволяет сравнить число чисто и нечисто коренных классов для определителя (в каковом случае только и существуют оба вида классов), а также определить отношение между числами чисто коренных классов определителей где — целое число. При рассматриваем, как всегда, только положительные классы.

Пусть данный определитель и — одно из возможных значений делителя форм этого определителя (§ 5); в любом классе К делителя о можно, очевидно, выбрать форму вида в которой Эта форма представляет результат композиции двух согласных форм из которых первая, очевидно, чисто коренная, а вторая параллельна простейшей форме делителя о (§ 8); таким образом каждый класс К делителя о может быть получен умножением простейшего класса того же делителя на некоторый чисто коренной класс. Примем во внимание совокупность тех чисто коренных классов Я, которые при умножении на дают опять класс так как из вытекает то совокупность представляет подгруппу всей группы чисто коренных классов. Порядок этой подгруппы, по известной теореме, должен быть делителем порядка всей группы. Разбивая всю группу чисто коренных классов на сопряженные системы по подгруппе легко найдем, что простейший класс при умножении на чисто коренные классы, принадлежащие к разным сопряженным системам, дает различные классы делителя Из изложенного ясно, что если

обозначает количество различных классов делителя а, то отношение равно целому числу порядка подгруппы Чтобы дать признак того, когда чисто коренной класс принадлежит к подгруппе заметим, что в любом чисто коленном классе можно выбрать форму вида в которой и С делятся на а. В самом деле, взяв в рассматриваемом классе форму в которой будем компонировать ее с простейшей формой делителя Получим форму вида , где и С делятся на а; при этом по предыдущему параграфу форма будет эквивалентна форме которую и можно взять за представительницу рассматриваемого класса.

Пусть теперь рассматриваемый чисто коренной класс принадлежит к т. е. Взяв в форму указанного вида находим, что форма из должна быть эквивалентна форме из следовательно, при целых а, и при т. е. форма класса представляет (собственно или несобственно). Обратно, если при целых то докажем прежде всего, что Действительно, если то делится на , и так как то Из равенства видно, что у суть взаимно простые числа и что форма собственно представляет число а. Следовательно, форма , принадлежащая классу эквивалентна форме с первым коэфициентом а, а эта последняя параллельна простейшей форме делителя а, т. е. Игак, для принадлежности чисто коренного класса к подгруппе необходимо и достаточно, чтобы формы этого класса представляли, собственно или несобственно, число Если форма представляет то та же форма представляет собственно , где некоторый делитель числа о и потому эквивалентна форме с первым коэфициентом Окончательно получаем: отношение равно количеству всех неэквивалентных между собою чисто коренных форм определителя первый коэфициент которых имеет вид где любой делитель числа о. Заметим, что при подсчете количества неэквивалентных форм достаточно при каждом давать числу лишь несравнимые по модулю значения, так как параллельные формы всегда эквиваленты (§ 9).

Полученный результат приложим прежде всего к случаю . В этом случае есть кошчество не чисто коренных классов определителя или 4; в последнем случае средний коэфициент формы должен быть нечетным. Таким образом равно числу неэквивалентных чисто коренных форм между тремя формами , где При четное, и формы не будут чисто коренными, следовательно, При все три формы будут чисто

коренными. Для исследования их в смысле эквивалентности служат следующие замечания:

1) Если уравнение решается в нечетных числах то все три формы эквивалентны. В самом деле, выбрав знаки нечетных чисел и по условию , можем написать целочисленную подстановку определителя 1

переводящую

2) Если любые две из форм эквивалентны, то уравнение решается в нечетных числах. Если эквивалентна одной из форм то число 4 должно собственно представляться формой откуда и получаем с нечетными и. Если же эквивалентна то существует собственное представление а, у числа 4 формой принадлежащее к корню сравнения (§ 1). Для этого представления по формулам (2) § 1 будем иметь ; так как нечетное, то — четное. Полагая получим , откуда легко вывести, что числа и нечетные. Итак, формы принадлежат или к одному, или к трем различным классам, смотря по тому, решается или не решается уравнение в нечетных числах; в первом случае имеем во втором При единственное решение уравнения есть следовательно, при имеем При из формулы (15) § 5 видно, что уравнение тогда и только тогда решается в нечетных числах, когда наименьшее решение этого уравнения состоит из нечетных чисел. Получаем теорему

Теорема 14. Пусть число формы не равное полному квадрату, и обозначают количества чисто и не чисто коренных классов форм определителя положительных при тогда при

при

причем есть наименьшее решение уравнения

До сих пор неизвестно простого правила, позволяющего узнать, когда наименьшее решение уравнения (при формы состоит из четных чисел и когда из нечетных. Имеется, например, всего 125 чисел формы больших нуля и меньших

для 31 из них числа четные, для остальных 94 чисел числа нечетные. Таблица этих наименьших решений для всех вычислена Кэли (эта таблица перепечатана в учебнике Граве 22).

Чтобы вывести дальнейшие следствия из полученного выше результата об отношении положим, что а есть простое число, большее или равное есть число целое. Тогда будет, очевидно, равно числу чисто коренных классов определителя Для определения нужно, по предыдущему, подсчитать, сколько различных классов дают формы . В последней форме пробегает полную систему вычеюв по модулю за исключением решений сравнения (если оно возможно); при таком условии все формы будут чисто коренными. Число форм равно 2 при при нечетном а (принимая символ Лежандра когда делится на Исследование эквивалентности форм основано на следующих замечаниях.

1) Форма эквивалентна какой-либо из форм тогда и только тогда, когда уравнение решается в целых числах удовлетворяющих условию Действительно, по замечанию § 1 [формулы (2)], эквивалентность равносильна существованию целых чисел для которых Число х, очевидно, делится на полагая получим

2) Формы эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение, удовлетворяющее условию Действительно, эквивалентность равносильна существованию цепых чисел для которых Так как не делится на а, то и — целое; полагая еще придем к вышеуказанным условиям эквивалентности

Положим, что среди форм существует всего А форм, принадлежащих главному классу (т. е. эквивалентных и докажем, что отношение равно общему количеству I форм деленному на .

Заметим сначала, что среди форм имеется, по предположению, форм главного класса; каждой из таких форм отвечает, по замечанию 1, число для которого при некотором решении и уравнения Очевидно, что в этом решении и обратно, каждому решению а уравнения отвечает вполне определенный вычет по модулю определяемый сравнением следовательно, форума принадлежащая главному классу. Таким образом представляет количество различных вычетов происходящих из всевозможных решений уравнения Равенство

будет доказано, если мы покажем, что всякой форме не принадлежащей главному классу (если таковая существует), соответствует среди форм ровно отличных от нее и эквивалентных ей форм. Действительно, если отлична от то, по замечанию 2, для некоторого решения уравнения имеем ; так как то, определив из сравнения получим форму эквивалентную

Таким образом каждой форме отличной от и эквивалентной соответствует в ряде форм форма принадлежащая главному классу; значок ее (3 определяется по значкам из сравнения

Обратно, пусть дана форма определяя по и число сравнением в котором, очевидно, покажем, что Прежде всего (для сущеавования формы сответствующей значку нужно убедиться, что действительно, в противном случае мы имели бы т. е. либо либо что невозможно. бы т. е. то из сравнения для получили бы как то, по замечанию существует решение уравнения для которого что вместе с сравнением дня дает

Если то при уравнение имеет только два решения при к ним присоединяются еще два: . В первом случае имеем во втором таким образом при отношение вообще равно и только при равно Если то заметим, что два решения уравнения дают один вычет тогда и только тогда, когда отношение может быть представлено в форме где решение уравнения Распределим все решения уравнения на группы, отнеся в одну и ту же группу два решения для которых где и — решения уравнения число этих груп и будет, очевидно, равно Я. Обозначая, с другой стороны, через нжменьшие положительные решения уравнений и через целый показатель в уравнении (ср. конец § -дим, решения принадлежат к одной группе тогда и только

тогда, когда Итак, отношение в случае можно изобразить так:

Применяя доказанные результаты последовательно несколько , получаем окончательно теорему (Gauss 20, D. A., art. 256; L.-Dirichlet § 151):

Теорема Если число чисто коренных классов определителя неравного квадрату, положительных при целое число, то

где произведение берется по всем различным нечетным простым делителям числа и символ Лежандра равен нулю при делящемся на при при Наконец при

где наименьшие положительные решения уравнений

Другой элемгнтарный вывод теорем этого параграфа предложен Лип» шицем (см. L.-Dirichlet 14, стр. 254).