§ 8. Арифметические приложения неравенства Дирихле.

Теорема 8 (§ 1) ведет к важным арифметическим следствиям. Пусть простое число формы целое число, удовлетворяющее сравнению (§ 8 гл. I). По теореме 8 для числа можно подобрать дробь — такую, что где для целого числа имеем Далее и так как то Итак, каждое простое число формы есть сумма двух квадратов. Дальше мы увидим, что такое представление числа возможно лишь одним способом (если не обращать внимания на порядок чисел и на их знаки). Теорема эта высказана Ферма и доказана впервые Эйлером. В дальнейших главах этой статьи мы встретим много различных доказательств этого предложения; приведенное сейчас доказательство принадлежит Эрмиту (см. 23, "Note sur un Шёогёше relative лих nombres entiers", стр. 264).

Пусть есть простое число и делитель числа Как известно (§ 6 гл. I), приведенная система вычетов по модулю разбивается на вычетов степени по модулю и невычетов. Пусть какой-нибудь невычет степени Найдя дробь удовлетворяющую условиям будем иметь одно из двух: 1) либо (которое больше нуля и меньше будет невычетом аепени по либо вычет и тогда (которое по абсолютному значению меньше будет невычетом.

Так как отношение невычета к вычету есть всегда невычет, то отсюда получаем: 1) среди чисел имеется всегда невычет степени по модулю Отсюда можно вывести далее, что 2) между

всегда имеется невычет степени по модулю . В самом деле, предположим, что все числа суть вычеты степени; тогда будет также вычетом. Если существует невычет между нулем то все числа будут невычетами; но из этих чисел одно лежит в пределах что противоречит сделанному предположению. Если все числа между - вычеты,.то по замечанию 1 число —1 есть невычет степени. Возьмем окружность С длины и будем изображать все целые числа последовательными равноотстоящими точками на этой окружности так, чтобы числа, сравнимые по модулюр, попадали в одну и ту же точку. При доказываемое предложение 2 очевидно; предполагая поэтому имеем неравенства

Полагая рассмотрим произведения которые будут, по нашему предположению, вычетами степени; так как разность то точки, соответствующие эгим произведениям, заполняют всю окружность С и, следовательно, одна из них попадет в промежуток Иными словами, существует число для которого есть вычет; само будет тогда невычетом степени. Итак, предположение неверности предложения 2 приводит во всех случаях к противоречию. 3) Среди чисел при всяком найдется невычет степени по модулю Действительно, предполагая, что между этими числами нет делящегося три что все они суть вычеты степени возьмем по замечанию 2 невычет и рассмотрим произведения которое будут невычетами. Из написанных выше неравенств вытекает, что точки, соответствующие произведениям, заполняют всю окружность С, и так как эти точки следуют на расстоянии друг от друга, то одна из них попадет в промежуток что противоречит предположению. Из замечаний 1, 2 легко вывести, что замечание 3 справедливо и в том случае, когда одно из чисел делится на

Изложенные замечания о невычетах степени принадлежат И. Виноградову.

Желая обобщить метод Эрмита, рассмотрим представления любого целого числа формой где целое число, причем — а не равно полному квадрату. Два представления х, у и будем считать одинаковыми только тогда, когда . Если то представление будем называть собственным, из уравнения видно, что для собственного представления Пусть х, у — какое-нибудь собственное представление определяя из сравнения (которое имеет только одно решение, § 4 гл. I), имеем откуда

Итак, каждое собственное представление х, у числа формой принадлежит к одному определенному корню сравнения Если два представления у принадлежат к одному и тому же корню, то из сравнений находим целое) и тождество

показывает, что и целое. Числа и удовлетворяют уравнению Пелля

Из найденных формул получаем

или

Легко видеть, что и обратно, когда а пробегают все решения уравнения (30), формула (31) дает все представления х, у (и каждое по одному разу), принадлежащие к тому же корню, что и При уравнение (30) имеет четыре решения: и группа представлений, принадлежащих к одному корню, состоит из четырех пар где При уравнение (30) имеет два решения так что будет пара представлений, принадлежащих к одному корню. Наконец, при — и не равном квадрату уравнение имеет бесчисленное множество решений (как увидим ниже), и в этом случае группа представлений, принадлежащих к одному корню (если такие представления вообще имеются), состоит из бесконечного множества представлений.

Пусть а — одно из чисел целое число, большее, чем 1, и взаимно простое с . Возьмем один из корней сравнения и положим в теореме 8

тогда найдем дробь для которой

Полагая можем написать

Следовательно, при имеем при имеем Далее Положим

тогда из равенства и из выражений для видим, что общий наибольший делитель делит как Я, так и Итак, можем сказать: для всякого корня сравнения можно найти целые числа для которых

При этом общий наибольший делитель делит как так и Этот результат вместе с указанным в § 9 гл. I числом решений сравнения позволит нам полностью решить вопрос о представлении чисел формою при указанных выше значениях а. Заметим прежде всего, что для существования собственных представлений формой необходимо, чтобы сравнение разрешалось, т. е. чтобы —а было квадратичным вычетом 772.

1) формулах (32) для всякого множитель следовательно, числа взаимно простые. Если нечетное число, то для существования собственных представлений формой нужно, чтобы кажшй простой делитель имел форму и в этом случае существует собственных представлений число различных простых делителей , § 9 гл. I). Что касается числа всех представлений любого нечетного 772 формой то это число, очевидно, изображается суммой взятой по всем разбиениям где целое число, выбранное так, что к состоит исключительно из простых чисел вида изображает количество различных простых делителей к. Полагая где различные нечетные простые числа, видим, что сумма равна произведению таких же сумм, построенных для отдельных степеней Легко видеть, что значение суммы 22" для числа во всех случаях совпадает с суммой отсюда получаем, что количество всех представлений формой равно где сумма берется по всем делителям числа .

Легко распространить этот результат и на случай четного Пусть произвольное целое число; так как в уравнении числа х, у одной четности, то, положив найдем целые числа для которых Таким образом каждому представлению формой соответствует некоторое представление той же формой, и обратно; обозначая через число всех решений уравнения в целых х, у (считая два решения у одинаковыми только при можем полученный результат изобразить так:

Вводя, с другой стороны, числовую функцию

можем полученный результат высказать так: количество представлений всякого целого числа формой равно учетверенной разности между числом нечетных делителей формы и числом нечетных делителей формы символически:

Если условимся считать то формула (34) будет справедлива даже при Этот результат показывает в частности, что простое число формы может быть представлено в виде суммы двух квадратов единственным образом, если отвлечься от знаков и порядка следования чисел х и у.

2) а = 2. В формулах или 2 и, так как делит как Я, так и по предположению, нечетное, то всегда взаимно простые. Если то есть собственное представление принадлежащее к корню если то такое представление дадут, как легко видеть, числа Итак, в случае возможности сравнения (т. е. когда состоит исключительно из простых чисел формы или , существуют опять собственные представления принадлежащие к любому корню Количество всех собственных представлений будет (§ 9 гл. I), где - число различных простых множителей Отсюда, аналогично предыдущему, получаем, что количество всех представлений нечетного формой равно 2 2 где берется по всем делителям числа Замечая, что и вводя числовую функцию

получаем: количество представлений целого числа формой равно удюгнной разности между числом делителей формы или и числом делителей формы или т. е.

Отсюда в частности получаем теорему Ферма-Эйлера: всякое простое число формы или представляется одним способом в виде плюс юенный квадрат.

3) а = 3. В формула или 3 и так как то всегда Значение невозможно, так как при этом значении будут одинаковой четности и .

При числа при числа дают собственное

представление, принадлежащее к корню случае возможности сравнения Отсюда получаем, что количество всех представлений нечетного, не делящегося на 3 числа формой равно 2 где сумма берется по всем делителям числа

Пусть любое число, не делящееся на 3. Рассмотрим уравнение при четном очевидно, четные и

Таким образом при четном Согласимся обозначать число решений уравнения с некоторыми добавэчными условиями относительно неизвестных х, у тем же знаком причем писать эти добавочные условия в скобках сразу после уравнения; таким образом при нечетном

Для определения второго члена правой части воспользуемся тождеством на основании этого тождества каждому решению уравнения соответствует по формулам решение уравнения , в котором х, у нечетные и (так как нечетное). Обратно, каждому решению уравнения удовлетворяющему условиям: х, у нечетные, , соответствует по формулам решение уравнения Следовательно,

и формула (37) дает для нечетного

Все изложенное позволяет сказать, что число представлений целого числа не делящегося на 3, формой равно нулю, если наивысшая входящая в степень простого числа 2 нечетная; если же (а — четное нечетное), то число представлений равно где сумма берется по всем делителям Замечая, наконец, что можем высказать результат: количество представлений целого числа нечетное) формой определяется формулами

где

При этом символ Якоби считается равным нулю при делящемся на 3. В частности получаем теорему Ферма-Эйлера: всякое простое число формы представляется одним способом в виде суммы квадрата и утроенного квадрата.

Доказанные теоремы о формах [см. равенства (34), (36), (38)] найдут важные применения в гл. V при изучении представлений чисел квадратичными формами с большим числом переменных.

4) а =-2. Считая и нечетным, имеем в равенстве и Если то дают решение уравнения принадлежащее к корню сравнения если же то такое решение дадут, как лгко видеть, числа Итак, в случае возможности сравнения существуют опять собственные представления принадлежащие к каждому корню этого сравнения. Все представления принадлежащие к одному корню, получаются из одного из них х, у по формуле (31), где и пробегают все решения уравнения Дальше (§ 12) мы увидим, что все решения этого уравнения получаются отделением рациональной и иррациональной части в формуле

где k независимо от знака пробегает все значения Соотношение (31) принимает теперь вид

Рассматривая теперь все (как собственные, так и несобственные) представления числа формой условимся соединять в одну группу представления, связанные формулой (40). Тогда аналогично предыдущему найдем, что количество различных групп представлений равно 2 где сумма берется по всем делителям числа Чтобы выбрать из каждой группы представлений по одному, заметим, что при и потому, взяв знак правой части (40) по условию будем иметь Замечая далее, что логарифмы чисел составляют арифметическую прогрессию, выберем к (единственным образом) по условию

так как то эти неравенства равносильны следующим:

что после упрощений дает

или

(гак как х нечетное). Итак, в каждой группе представлений имеется одно и только одно представление, удовлетворяющее двум неравенствам и мы получаем теорему количество представлений нечетного числа формой где х и у удовлетворяют условиям равно сумма берется по всем делителям числа или

В частности простое число формы или представляется в виде разности квадрата и удвоенного квадрата (единственным образом, если присоединить условия

Можно распространить доказанную теорему на случай четного и отрицательного а также формулировать аналогичные теоремы для