§ 4. Доказательство формул Дирихле для чисто коренного случая отрицательного определителя.

Автор настоящего реферата в 1927 г. показал (см. Б. А. Венков 9в), что, исходя из теорем Гаусса о представлении чисел и бинарных форм суммой трех квадратов гл. IV), можно дать чисто арифметическое доказательство формул Дирихле для тех отрицательных определителей в которых есть сумма трех квадратов, т. е. для или (см. § 16 гл. IV). В настоящем параграфе мы изложим это доказательство, ограничиваясь более простым случаем . Обратимся прежде всего к заключительной теореме § 16 гл. IV, дающей количество представлений положительной бинарной формы (в которой число к не имеет квадратных делителей) суммой трех квадратов. Взяв все разбиения числа на Два множителя в которых нечетное и не имеют общего делителя, положим для каждого разбиения и рассмотрим сумму распространенную на все эти разбиения. Припоминая определение чисел введенных при доказательстве теоремы § 16 гл. IV [формулы (69)], можем сказать, что каждая из степеней входит только в один из множителей ; обозначая поэтому общие наибольшие делители с каждым из чисел по схеме

можем написать

Обратно, задание чисел вполне определяет разбиение на множители удовлетворяющие поставленным для них

условиям. Поэтому суммирование в выражении будет выполнено, если заставить числа независимо друг от друга пробегать все нечетные делители соответственно чисел попарно взаимно простых (§ 16 гл. IV). Так как числа отличаются на квадраты от то выражение под знаком суммы можно представить в виде

или после упрощений в виде

Принимая во внимание, что числа не имеют квадратных делителей, получаем следующее выражение для

причем первое произведение берется по всем нечетным простым числам второе — по всем нечетным простым третье — по всем нечетным простым делителям числа последняя сума — по всем нечетным делителям числа Формула (24) показывает, что при выполнении условий теоремы § 16 гл. IV рассматриваемая нами сумма равна количеству представлений суммой трех квадратов [формула (71) § 16 гл. IV], при невыполнении же условий теоремы Итак, обозначая обычным образом через количество представлений, имеем во всех случаях

Полученная формула имеет то преимущество по сравнению с формулой (71) § 16 гл. IV, что не требует предварительного перечисления условий представимости суммой трех квадратов.

Пусть теперь - целое число формы или не делящееся на квадрат [то число, для которого мы хотим доказать формулу Дирихле (20)]. Положим в формуле замечая, что в этой формуле рассмотрим суммы взятые по всем удовлетворяющим условиям вычетности по модулю 2, поставленным под каждой суммой. Пользуясь левым выражением для в формуле (25), можем сказать, что сумма а есть количество систем целых чисел удовлетворяющих

уравнениям и добавочным условиям Но из тождества

вытекает, что для всякой системы чисел а, удовлетворяющей уравнениям имеем причем равенство существует тогда и только тогда, когда Применяя теперь теорему Гаусса о количестве представлений числа суммой трех квадратов (теорема 18 § 16 гл. IV) и замечая, что при в уравнении одно из чисел с сравнимо всегда с ту остальные два , легко найдем для суммы о выражение

причем буква написана для краткости вместо Для второй суммы а таким же способом находим выражение Принимая во внимание полученные выражения для сумм с, а и пользуясь теперь правым выражением для в формуле (25), находим следующие равенства:

В правых частях этих равенств суммы распространяются на все решения уравнения в целых числах удовлетворяющих условиям не имеют общего делителя; кроме того, удовлетворяет еще сравнениям по модулю 2, написанным около каждого из равенств (26), (27). Далее для каждой системы чисел Равенства (26) и (27) будут служить основой для дальнейших заключений.

Каждому представлению , о которых только что говорилось, соответствует чисто коренная бинарная форма положительного квадратного определителя Пользуясь приведением таких форм (§ 6 гл. IV), можем сказать, что форма эквивалентна форме вида , причем и

Обозначая через подстановку, переводящую (причем можно предполагать так как можно изменить одновременно знаки), будем иметь следующие равенства:

При этом из формулированной в конце § 6 гл. IV теоремы вытекает, что задание чисел однозначно определяет как число а в форме

так и числа Из (28) на основании получаем неравенства Так как по предположению, то Условие равносильно такому: Наконец, из равенства вытекает

так что сравнения для написанные около равенств (26) и (27), равносильны таким: . Принимая во внимание, что , после короткого вычисления получаем

Из сказанного вытекает, что суммирование в правых частях формул (26) и (27) можно произвести следующим образом: суммируем по всем числам взаимно простым с и для каждого а по всем парам дробей удовлетворяющим условиям сверх того, условию для равенства (26) и четн. для равенства (27); количество таких пар дробей — при фиксированном а конечно, так как, по известному предложению (§ 1 гл. 11), знаменатели не превышают Введем для рационального аргумента числовые функции по формулам

причем суммы берутся по всем парам дробей удовлетворяющим условиям

а также условиям, подписанным под каждой суммой; тогда равенства (26) и (27) примут вид

причем суммы берутся по всем а между взаимно простым с Каждой паре дробей удовлетворяющей условиям (30), соответствует пара дробей для которой отсюда легко вывести соотношения Замечая еще, что для

двух положительных чисел а, а, сумма которых равна имеем получим из еще формулу

которая вместе с (31) дает окончательно

Здесь сумма берется по всем а в пределах взаимно простым с Чтобы получить выражение для числовой функции

входящей в формулу (32), докажем одну лемму из теории непрерывных дробей. Пусть -нечетные взаимно простые числа; рассмотрим суммы

взятые по всем парам дробей удовлетворяющим условиям

При указанных дробей не существует (так как должно быть следовательно, все суммы (33) суть нули; если же то найдем четное число к и единицу так, чтобы причем Пусть сначала тогда следовательно, как иначе дробь лежала бы между и Если к то дробь заключена между дробями которые удовлетворяют и всем прочим условиям (34); если же то Принимая это во внимание, получим для следующие соотношения:

причем при при Для случая подобным же образом находим

Если нечетные взаимно простые числа и последовательным делением получаем ряд равенств

причем равны убывающие нечетные числа, а - четные числа, большие равные 2. Равенства (37) дают разложение в непрерывную дробь вида

Полагая для краткости наодим при помощи (35) и (36) для этой функции соответственно алгорифму (37) ряд соотношений

из которых по исключении величин получим

Пусть теперь четное число, для функций определяемых формулами (29), после короткого вычисления находим

так что

Если то правая часть последнего равенства также равна единице. Если же то для применения формулы (39) разложим в непрерывную дробь (38); такому разложению будет соответствовать для непрерывная дробь вида

в которой равны нечетные числа, большие или равные четные числа, большие или равные 2. Применяя теперь формулу (39), найдем из (40)

Итак, между рассматриваемыми функциями существует такая зависимость: выражение равно всегда нулю или единице. Чтобы получить критерий, не содержащий явно элементов непрерывной дроби (41) и позволяющий узнать, когда это выражение равно нулю и когда единице, рассмотрим предпоследнюю подходящую к дроби (41):

Пользуясь известными рекуррентными соотношениями между числителями и знаменателями подходящих к дроби легко установить следующие факты: 1) числители подходящих дробей положительны и возрастают, откуда (так как вытекает, что знаменатели двух соседних подходящих дробей имеют разную четность, откуда . Принимая еще во внимание равенство можем написать

это сравнение вместе с условием вполне определяет число Соединяя это с (42), можем формулировать следующее

предложение: когда аргумент функций определяемых по формулам (29), равен несократимой дроби лежащей между с четным знаменателем то эти функции связаны между собою что выражение равно либо нулю, либо единице; именно,

причем где число в пределах 0, и единица вполне определяются сравнением . В частных случаях единица имеет, как легко видеть, следующие значения:

Возвращаемся теперь к формуле (32). Применяя только что доказанную лемму, получим из этой формулы причем сумма 2 берется по всем а в пределах взаимно простым с для которых Единица определяется следующим образом: найдя для каждого а число а в пределах удовлетворяющее сравнению полагаем при при . Если для какого-нибудь а то для соответствующего ему , о котором только что говорилось, также имеем Из закона взаимности и условия легко вывести, что для такой пары чисел а, а имеем всегда так что сумма взятая по всем для которых равна нулю. Соединяя это с написанным выше выражением для получаем где сумма берется по всем а в пределах взаимно простым с т. е. формулу Дирихле (20).

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VI

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)