§ 2. Принцип Дирихле; теоремы Кронекера и Минковского.

Если на мест требуется разместить несколько предметов, причем число предметов более то на одно какое-нибудь место попадет не менее двух предметов. Это предложение, которое Дирихле с чрезвычайным остроумием применил к выводу диофантовых неравенств, называется теперь принципом Дирихле (Н. Minkowski 59, Кар. I). Пользуясь этим принципом, докажем следующую теорему Кронекера, обобщающую теорему 8: пусть целые числа, большие нуля, и Любые вещественные числа существуют целые числа удовлетворяющие условиям

Пусть пробегает числа определим для каждого систему целых чисел удовлетворяющих условиям

Эти условия однозначно определяют числа по данному Рассмотрим в -мерном пространстве область, состоящую из точек удовлетворяющих условиям

Вставив в каждый промежуток 0, 1 дроби мы разобьем эту область на областей вида

Так как точка с координатами принадлежит в силу неравенств (3) к области (4), то эта точка попадает в одну (и только одну) из областей (5). Но количество этих точек равно количеству значений т. е. число же областей (5) есть Следовательно, по принципу Дирихле, по крайней мере в одну из областей (5) должна попасть пара различных точек (т. е. соответствующих различным Обозначая через значения соответствующие этим точкам, причем и полагая находим для чисел неравенства (2).

Если хоть одно из чисел иррационально, то из теоремы Кронекера вытекает, что можно найти бесчисленное множество систем дробей удовлетворяющих условиям

Минковский нашел важную теорему, содержащую в себе как частные

случаи теоремы Дирихле и Кронекера. Теорема Минковского заключается в следующем:

Теорема 9. Пусть система линейных форм от переменных с вещественными коэфициентами и определителем Если произвольные положительные числа, связанные соотношением то можно указать для переменных целые значения, равные одновременно нулю, которых

Сам Минковский доказал эту теорему из геометрических соображений. Гильберт и Гурвиц 29 дали доказательства, основанные на принципе Дирихле. В последнее время Морделль 62 дал доказательство, близкое по идее к доказательству Гурвица. Мы будем следовать доказательству Гурвица, как самому простому. Заменяя формы формами с тем же определителем видим, что наша задача равносильна следующей: указать такие целые значения для переменных не равные одновременно нулю, при которых каждая из данных форм будет по абсолютному значению меньше или равна Предположим сначала, что коэфициенты данных форм суть целые числа; тогда и будет целым числом, не равным нулю. Возьмем систему форм таблица коэффицинтов которой получается из соответствующей таблицы форм заменой строк столбцами; будут целочисленные формы с тем же определителем По доказанному в § 10 гл. I существует ровно целочисленных линейных форм переменных несравнимых по системе форм Полагая поэтому так что найдем, что среди форм кпхп число которых больше должны найтись две формы, сравнимые по модулю Пусть разность этих форм; тогда причем целые числа, не равные одновременно нулю. Сравнивая в этом уравнении коэфициенты при и принимая во внимание неравенства для чисел находим при системе значений

что и доказывает нашу теорему для целочисленных форм Так как неравен однородны относительно коэфициентов данных форм то отсюда сейчас же вытекает справедливость теоремы и для форм с рациональными коэфициентами

Для форм с произвольными вещественными коэфициентами теорема доказывается путем предельного перехода. Пусть последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. Возьмем

для каждого к систему форм с рациональными коэфициентами отличающимися от соответствующих коэфициентов данных форм менее чем на Обозначая через определитель форм имеем, при к и потому, для всех достаточно больших Так как для форм теорема справедлива, то найдется система целых значений где не все для которых

Решая неравенства (7) относительно видим, что значения удовлетворяющие этим неравенствам, заключены в пределах, не расширяющихся бесконечно при эти пределы, следовательно, можно считать независящими вовсе от чисел Точное установление их для нас излишне. Так как существует лишь конечное число различных систем целых чисел заключенных в определенных пределах, то в неравенствах (7) для бесчисленного множества значений к будет повторяться одна и та же система чисел Переходя для этой системы чисел к пределу, находим, что она будет удовлетворять также неравенствам (6), что и доказывает теорему Минковского.

Дальнейшие исследования о теореме Минковского и ее приложения читатель найдет в книгах Минковского "Geometrie der Zahlen" 60 и "Diophantische Approximationen" 69.