§ 4. Кубические вычеты; метод Гаусса.

При изучении кубических вычетов, пока мы остаемся в области обыкновенных целых чисел, имеет смысл рассматривать лишь простые модули формы Для такого модуля сравнение имеет три корня причем удовлетворяют сравнению Разобьем числа по сказанному в § 6 гл. I, на три класса отнеся к классу все числа с, для которых . Тогда будет состоять из кубических вычетов, кубических невычетов модуля при переходе от к другому

корню сравнения класс остается неизменным, классы меняются местами. В § 8 гл. II было доказано, что для простого уравнение имеет только одно решение в целых числах не обращать внимания на их знаки). Замечая, что форма переводится подстановкой и переводится в себя подстановкой легко найти, что уравнение имеет 12 решений в целых числах: Из этих решений найдутся два (и только два), удовлетворяющие условию Обозначая через любой корень сравнения можем из двух указанных решений х, у уравнения выделить одно вполне определенное решение для которого Эти числа а, 6 играют ту же роль для кубического распределения по модулю какую имели числа в уравнении для биквадратичного распределения.

Определяя на примерах принадлежность данного простого числа к классам для модулей видим, что эта принадлежность определяется условными сравнениями вида совершенно аналогичными тем, которые были выписаны в предыдущем параграфе. Эти сравнения выражают кубический закон взаимности, и полное их доказательство получается только после введения комплексных чисел вида — рациональные числа, Мы остановимся только на случаях в которых вопрос решается средствами обыкновенной арифметики. В первом мемуаре о биквадратичных вычетах (см. 20, стр. 511) Гаусс дает для определения принадлежности числа 2 к классам замечательный метод, который сверх того приводит к интересной теореме о разложении простого числа на сумму двух квадратов (см. следующий параграф). Мы не излагали метод Гаусса в предыдущем параграфе, так как вопрос о биквадратичном характере числа 2 был решен другим способом; поэтому покажем этот метод на примере кубических вычетов (см. стр. 210—275). Пусть все числа класса для модуля обозначим через количество тех из этих чисел для которых принадлежат классу и предложим себе определить девять величин . Замечая, что а и —а принадлежат всегда к одному классу, видим, что есть количество решений сравнения в числах классов причем два решения считаются одинаковыми только при условии Отсюда непосредственно вытекает, что Замечая далее, что сравнение делением на приводится к сравнению где числа класса обратно, сравнение

делением на приводится к первоначальному сравнению находим и аналогично получаем, что Эти соотношения показывают, что среди величин имеется только четыре различных: Так как число — 1 принадлежит к классу то среди величин а — все числа класса число которых встретится 0 только при 0. Следовательно, Эти соотношения позволяют из четырех величин к две, выразить через другие две,

Еще одно соотношение между к мы получим, рассматривая сравнение и определив число его решений в числах классов двояким образом. Желая определить число решений при заданном положим сначала, что а принадлежит классу Число решений при заданном а, очевидно, совпадает с числом решений сравнения в числах классов и потому равно (12). Если таково, что принадлежит то число решений при заданном равно если, наконец, принадлежит то число решений при заданном у равно (20). Но так как среди чисел все числа класса кроме —1) находится соответственно чисел, принадлежащих классам то приходим к заключению, что

Если проведем подобное же рассуждение с числом т. е. определим сначала число решений сравнения при заданном и потом просуммируем по всем то получим для другое выражение:

Сравнивая это выражение с предыдущим и внося вместо их выражения (13), получим после упрощений

Для решения этого неопределенного уравнения с двумя неизвестными к введем вместо к целые числа определяемые формулами

после чего уравнение (14) примет вид Из формул (15) видно, что есть число целое; полагая еще находим для чисел уравнение Кроме этого уравнения числа удовлетворяют еще некоторым сравнениям; одно из них есть . Для получения другого

рассмотрим сумму Припоминая, что при к, делящемся на при не делящемся на (§ 7 гл. I), находим

Замечая, с другой стороны, что где сумма берется по всем числам класса получаем

где корень сравнения определяющий распределение на классы Таким образом получаем сравнение Подставляя сюда выражения чисел через [из (13) и (15)]:

находим после упрощений

Полагая, наконец, находим, что целые числа удовлетворяют условиям

Этими условиями, по сказанному в начале этого параграфа, числа определяются вполне. Выражая к через эти числа, получим окончательно

Переходя к определению принадлежности чисел 2 и 3 к классам по модулю заметим, что число решений сравнения а числа класса будет нечетным тогда и только тогда, когда у принадлежит к классу когда 2 принадлежит к классу

Из формул (17) находим , что дает теорему: число 2 принадлежит по модулю к классу при четном, классу при а четном и к классу Да при а четном; числа определяются для простого числа по условиям (16).

Пусть суть все числа классов как все эти числа и только они являются корнями сравнений то по § 5 гл. I имеем

Полагая здесь найдем

Возвысим эти сравнения в степень припоминая определение чисел получим . Перемножая эти сравнения и замечая, что находим из (16) выводим: . Получаем теорему: если определены условиями (16), то число 3 принадлежит к классам по модулю смотря по тому, будет ли .