ГЛАВА VI. ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

В настоящей главе будет изложено все то, что может быть доказано (при современном состоянии науки) чисто арифметическим путем относительно важнейшей числовой функции — числа классов бинарных квадратичных форм отрицательного определителя.

§ 1. Табличные сведения о числе классов; регулярные определители.

В настоящем параграфе мы приведем некоторые сведения табличного характера, которые можно извлечь из имеющихся таблиц числа классов. Такие таблицы вычислены Гауссом 19; в них дано число чисто коренных (положительных) классов форм для всех отрицательных определителей от — 1 до 3 000 и для всех положительных определителей от 1 до 300. Кроме того, Гауссом вычислены числа классов для всех определителей, лежащих в интервалах . Если k — число родов, — число классов в каждом роде для данного определителя (рассматриваем всегда чисто коренные, положительные при классы), то полное число классов будет (§ 12 гл. IV). Величина к есть степень двойки, легко определяемая по количеству различных простых делителей (§ 12 гл. IV, теорема 16); в таблице Гаусса определители внутри каждой сотни расположены по возрастанию величины х. Мы будем писать число к римскими, число — арабскими цифрами и называть пару чисел классификацией определителя например для определителя - 16; классификация есть II, 1.

Первый вопрос, который представляется при рассмотрении таблицы числа классов, такой: каковы определители с одной и той же классификацией? Кажется весьма вероятным, что ряд таких определителей всегда обрывается, т. е. что существует лишь конечное число определителей с данным числом классов; однако доказать это предположение, повидимому, чрезвычайно трудно. Для примера выписываем все отрицательные определители таблицы Гаусса с простейшими классификациями и т. д.:

Для каждой классификации справа выписаны абсолютные величины отрицательных определителей, имеющих эту классификацию. Классификаций вовсе не существует, так как в случае существования только одного рода число классов в этом роде нечетное (§ 10 гл. IV). Далее интересно, что в таблице Гаусса совсем нет для отрицательных определителей классификаций вида и, 1, где (каковые классификации представляются возможными); наименьший из определителей с числом родов, большим или равным 32, есть и ему соответствует классификация XXXII, 2. Некоторое представление о росте числа классов дает формула Гаусса

в которой есть число классов чисто коренных положительных форм определителя буква обозначает сумму ряда остается ограниченным при Гаусс, впрочем, зал только первый (главный) член формулы (1); в том виде, как она здесь написана, эта формула дана акад. И. М. Виноградовым. Из формулы (1) вытекает, что среднее арифметическое последовательных значений функции т. е. при постоянном к и растет приблизительно как

Для положительных неквадратных определителей число классов имеет сравнительно меньшую величину, чем для отрицательных; малые классификации, как, например, I, 1; II, 1 и т.д., встречаются тут гораздо чаще и не прерываю на всем протяжении таблицы. Например из 90 неквадратных определителей, имеющихся в первой сотне, 11, 48 и 27 определителей имеют классификации соответственно I, 1; II, 1 и IV, 1; только четыре определителя, именно имеют другие классификации: I, 3; II, 2; II, 2; II, 3. Из 197 неквадратных определителей, лежащих между 801 и 1000 (включая пределы), 145 имеют по одному классу в каждом роде.

Пусть К — класс главного рода форм определителя и - наименьший показатель, для которого (по композиции); тогда а будет

делителем числа классов главного рода (§ 10 гл. IV). Определитель называется регулярным (Gauss 20, D. A., art. 306), если существует класс К, для которого , т. е. если все классы главного рода суть степени одного из них; в противном случае называется иррегулярным определителем. Если есть наибольшее возможное значение показателя то целое число называется показателем иррегулярности определителя Иррегулярные определители встречаются гораздо реже регулярных; например в первой тысяче отрицательных определителей имеется всего 13 иррегулярных, абсолютные величины которых суть

Под каждым определителем выписан его показатель иррегулярности. Аналогично во второй тысяче имеется всего 28 иррегулярных определителей (13 с показателем 2 и 15 с показателем 3); в третьей тысяче количество иррегулярных определителей есть 37, в десятой 63. Гаусс высказал предположение, что плотности распределения регулярных и иррегулярных отрицательных определителей находятся в определенном отношении друг к другу, т. е. что отношение (где количества регулярных и иррегулярных определителей для которых стремится при пределу не равному нулю и бесконечности; однако это предположение никем не доказано. Среди положительных неквадратных определителей иррегулярные встречаются гораздо реже, чем среди отрицательных.

Удобные числа Эйлера (см. примечания к гл. II, стр. связаньц с теорией квадратичных форм; нетрудно видеть, что указанное ранее свойство удобного числа имеет место тогда и только тогда, когда в каждом роде чисто коренного порядка определителя имеется по одному классу форм. В этом случае все классы определителя суть классы anceps. И действительно, в 1-й, 5-й, 7-й, 8-й и 9-й строках приведенной выше таблицы находим все 65 удобных чисел Эйлера.