§ 7. Относительные минимумы формы x - wy

Пусть — вещественное иррациональное число. Будем говорить, что пара целых чисел дает относительный минимум линейной формы если неравенства удовлетворяются только целыми числами (если не считать Задача отыскания всех относительных минимумов данной линейной формы привела Лагранжа к открытию весьма важного свойства подходящих дробей; это свойство выражается следующей теоремой.

Теорема 10. Пусть иррациональное число и его подходящие дроби. Тогда пара чисел при и все пары дают относительные минимумы формы и других относительных минимумов эта форма не имеет.

Пусть одна из указанных пар, т. е. или при Рассмотрим пару целых чисел удовлетворяющих неравенствам

Определяя целые числа из условий

имеем

При не равных нулю, должно быть так как разных знаков и при равенство (29) противоречило бы первому неравенству (27); но при противоречит

второму неравенству (27). При из (27) и (28) вытекает при из (27) и (29) вытекает Итак, неравенства (27) удовлетворяются только парой чисел откуда и вытекает, что все указанные в теореме пары Дают относительные минимумы формы Пусть, обратно, есть пара чисел, дающая относительный минимум формы . Выберем номер к по условию тогда, при и при Если пара не совпадает с то, по доказанному только что свойству подходящих дробей [неравенство (27)] мы имели бы что противоречит предположению, что дают относительный минимум формы Итак, и теорема Лагранжа доказана.

Теорема 10 особенно важна потому, что указываемое ею свойство подходящих дробей легче поддается обобщению, нежели другие их свойства. Многочисленные работы Минковского, Эрмита, Вороного и Золотарева, обобщающие в разных направлениях алгорифм непрерывных дробей, основаны на свойстве подходящих дробей давать относительные минимумы формы