§ 3. Биквадратичные вычеты; критерии принадлежности чисел к классам биквадратичного распределения.

Простейшими степенными вычетами после квадратичных являются биквадратичные и кубические. Начав в 1805 г. исследование свойств этих вычетов, Гаусс вскоре заметил характерную их черту — недостаточность средств обыкновенной арифметики для выражения и тем более для доказательства основного их свойства — закона взаимности. Только расширив область рациональных чисел (присоединением к ней корня четвертой степени из единицы для биквадратичных и корня третьей степени из единицы для кубических вычетов), удается получить законченное выражение для биквадратичного и кубического законов взаимности. То, что может быть сделано с помощью обыкновенной арифметики в теории биквадратичных вычетов, изложено Гауссом в мемуаре "Theoria residuorum biquadraticorum", Comm. I, (см. 20, стр. 511). Некоторые прибавления к этому были сделаны позднее Дирихле (см. стр. 63). В этом и следующих параграфах мы изложим вкратце указанные исследования Гаусса и Дирихле.

Пусть нечетное простое число. Очевидно, что при каждый квадратичный вычет будет вместе с тем и биквадратичным вычетом; поэтому о самостоятельной теории биквадратичных вычетов (если оставаться в области обыкновенных целых чисел) можно говорить только для простых модулей формы каковое предположение для числа мы и будем удерживать в этом параграфе. Взяв корень сравнения отличный (для которого, следовательно, можем разделить все числа поровну на четыре класса (§ 6 гл. I). По сказанному в § 6 гл. I, число а принадлежит к классам или смотря по тому, будет ли в сравнении показатель . Все биквадратичные вычеты модуля находятся в классе очевидно, далее, что классы охватывают все квадратичные вычеты, классы все квадратичные невычеты модуля При переходе от к другому корню сравнения классы остаются неизменными, а классы меняются местами. Относительно биквадратичных вычетов так же, как и прежде для квадратичных, представляются два главных вопроса: 1) узнать, к какому из классов принадлежит данное число по данному модулю Этот вопрос решается указанным выше сравнением

Эйлера Другой, более трудный, вопрос заключается? в том, для каких простых модулей данное число

принадлежит к наперед указанному из классов Полное решение этого вопроса достигается только при помощи биквадратичного закона взаимности.

Так как о принадлежности произведения к классам можно судить по принадлежности множителей, то указанный второй вопрос теории биквадратичных вычетов достаточно решить для и для случая, когда есть нечетное простое число. Относительно числа — 1 из критерия Эйлера сразу вытекает, что это число принадлежит к классу А при и к классу С при . Что касается дальнейших значений то, определяя на примерах принадлежность чисел к классам по модулям мы не замечаем никакой связи между этой принадлежностью и самим простым модулем эту связь удается подметить только если, воспользовавшись теоремой Ферма (§ 8 гл. II), представить число в виде суммы двух квадратов. Итак, пусть где — целые числа, определяемые единственным образом по данному (если не обращать внимания на их знаки).

Желая узнать связь между принадлежностью числа 2 к классам по модулю и числами , мы должны нормировать определенным образом корень сравнения от которого зависит распределение на классы Принимая во внимание, что следовательно, выберем корень по условию а Из равенства получаем

Далее вытекает следовательно, Из уравнения видно, что квадратичный вычет нечетного числа следовательно, по закону взаимности Аналогично из получаем Игак,

и получаем теорему: пусть целые числа из уравнения взятые с произвольными знаками, и корень сравнения выбранный в зависимости от условию а Тогда число 2 принадлежит к классам (установленным в зависимости от корня модулю если

Пользуясь представлением другими квадратичными формами, можно получить другие, аналогичные критерии принадлежности числа 2. Пусть имеет форму в § 8 гл. II мы видели, что представляется как формой так Пусть причем такое представление опять возможно лишь единственным способом. Корень сравнения в данном случае не выбираем, так как, при , и потому 2 принадлежит к одному из классов А или С, независимых от выбора Из уравнения находим или полагая — нечетное, имеем откуда Далее из того же уравнения имеем так что Получаем теорему: для простого числа «шсло 2 принадлежит к классу А или С смотря по тому, будет ли или

Рассматривая уравнение получим аналогичный результат: пусть любое решение уравнения {таких решений существует бесчисленное множество; них одно удовлетворяет условиям § 8 гл. II); «шсло 2 принадлежит к классу А или С по модулю смотря по тому, будет ли или . Сравнение этих критериев с доказанным выше приводит к следующим теоремам:

1) Для простого формы числа и а в уравнениях связаны так, при четном и при нечетном .

2) Для такого же числа в уравнениях числа и а связаны так, что при четном , при нечетном а или . Эти теоремы интересны потому, что устанавливают зависимость между представлениями одного и того же числа формами определители которых не отличаются на квадрат и которые поэтому не могут быть преобразованы одна в другую никакими подстановками с рациональными коэфициентами (§ 3 гл. II). В гл. V мы снова придем к этим теоремам из совершенно других соображений, причем докажем их для любого составного числа формы

Обращаясь к исследованию принадлежности нечетного простого числа к классам по модулю положим опять (а нечетно) и выберем корень сравнения характеризующий распределение на классы под условием а Так как класс, к которому принадлежит —1, известен, то вместо будем брать число выбирая знак по условию . Рассматривая на примерах принадлежность чисел — к классам замечаем, что критерии этой принадлежности выражаются всегда сравнениями формы или (эти

сравнения будем называть в дальнейшем условными сравнениями). Например, число —3 принадлежит к классу А для таких простых для которых к классу В — для таких у которых к классу С — при и к классу при Выписываем еще несколько подобных таблиц критериев:

Рассматривая эти таблицы, приходим к следующим выводам: 1) Принадлежность простого числа классам простому определяется условными сравнениями вида или Сравнение входит всегда в число критериев класса А. 3) Сравнение встречается среди критериев класса А, когда класса С, когда 4) условных сравнениях «шсло х принимает все значения кроме двух, удовлетворяющих сравнению когда это сравнение возможно [т. е. когда ]. 5) Число условных сравнений для каждого из классов одно и то же, именно — Теоремы эти выражают не что иное, как биквадратичный закон взаимности в той его части, которая касается обыкновенных чисел.

Дирихле в упомянутом выше мемуаре (см. стр. 63) показал, что теоремы 1—5, поскольку они относятся к классам могут быть доказаны и средствами обыкновенной арифметики. Дирихле основывается на следующем предложении из теории квадратичных форм: если простое число есть квадратичный вычет числа взаимно простого с то найдется нечетная степень этого числа, представляемая формой с взаимно простыми Это предложение является непосредственным следствием композиции квадратичных форм, что мы покажем в гл. IV [хотя его можно вывести и совершенно элементарно при помощи формул (32) § 8 гл. II]. Итак, ограничиваясь классами в теоремах 1—5, положим, что тогда на основании указанного предложения будем иметь нечетное, Отсюда

Заметим, что нечетное, — четное; притом при а не делится на 4. Полагая нечетное, большее нуля, из равенства находим Таким образом

Пользуясь представлением легко преобразовать равенство в следующее:

Положим тогда так как а — нечетное, то нечетное. Из равенства (10), ввиду того, что не имеют общего делителя, получаем

Разберем сначала случай/когда В этом случае из (10) видно, что одно из чисел делится, другое не делится на Если, например, то из (11) имеем , так как при то по закону взаимности Так как то отсюда следует так что сравнение (9) принимает вид Итак, при делящемся на число принадлежит к классу по модулю при и к классу С при Но так как равенство является следствием предположения то получаем доказательство теоремы 3 из вышеуказанных теорем 1—5.

Теперь можем предполагать в равенствах (11) а не делящимся на Тогда не делятся на и из (11), аналогично

предыдущему, получаем (для обоих знаков) Так как возьмем любой корень а сравнения Из находим и далее Подставляя это в сравнение (9), получаем такой результат: если корень сравнения , то

Из полученного сравнения при сразу вытекает, что принадлежит к классу А по модулю т. е. получаем доказательство теоремы 2. Определим числа из сравнений тогда сравнение можно заменить таким:

Полагая получаем — откуда Подставляя это в (12), получаем такое правило для определения класса, к которому принадлежит по модулю случае определив х по условию видим, что будет не делящийся на квадратичный вычет по При таком условии сравнение как легко видеть, имеет два решения относительно к; так как эти решения связаны соотношением то [оба ] имеют одинаковый квадратичный характер по модулю При этом принадлежит к классу по модулю если и к классу С, если Отсюда уже видно, какие значения х могут входить в условные сравнения классов и это те для которых есть квадратичный вычет Обратно, пусть для простых чисел имеем сравнение причем есть квадратичный вычет тогда из вытекает, что т. е. принадлежит к А или С по модулю к которому же именно из этих классов — это определяется символом 1 где А: — решение сравнения Таким образом принадлежность или С зависит в конце концов только

от значения х в сравнении (теорема 1). Остается определить количество условных сравнений в классах т. е. доказать теорему 5. Заставим число к пробегать все числа кроме корней сравнения причем из двух значений к и — будем каждый раз брать только одно; тогда формула но сказанному выше, даст все значения х, участвующие в условных сравнениях классов и каждое по одному разу. Присоединяя еще сравнение можем сказать, что в обоих классах находится всего условных сравнений. Для определения числа этих сравнений в одном из классов нужно в формуле давать к лишь такие значения, при которых будет квадратичным вычетом т. е. значения вида Итак, пусть все числа приведенной системы вычетов по модулю отличные и от корней сравнения и не связанные соотношением Очевидно, что число их Полагая Выберем из чисел половину: не связанных между собою сравнением и положим Тогда сравнения и будут все условные сравнения класса А при и класса С при -Присоединяя сравнение видим, что в одном из классов А или С будет условных сравнений, а следовательно, столько же их будет и в другом классе, что и требовалось доказать. Очевидно, что все изложенное дает удобный способ и для практического получения условных сравнений при заданном