ГЛАВА III. СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ

§ 1. Первое гауссово доказательство квадратичного закона вэаимности.

В этой главе будут изложены элементарные (т. е. не требующие введения алгебраических чисел) факты о степенных вычетах по простому модулю (§ 6 гл. I). Прежде всего, однако, остановимся на простейшем случае — квадратичных вычетах, чтобы рассмотреть первое доказательство Гаусса квадратичного закона взаимности (D. А. 20, art. 135-144, L.-Dirichlet 14, § 48—51), представляющее замечательное применение принципа полной индукции.

Идея доказательства состоит в том, что, предполагая закон взаимности (теорема 7) доказанным для любой пары нечетных простых чисел, меньших данного простого числа доказывают ту же теорему для и любого меньшего его простого числа Так как для простых чисел 3 и 5 теорема справедлива, то отсюда будет следовать ее справедливость вообще. Мы предполагаем доказанной первую дополнительную теорему к закону взаимности, т. е. и соответствующее равенство для символа Якоби. Заметим, что из предположенной справедливости теоремы 7 для простых чисел, меньших вытекает и аналогичная теорема для символа Якоби если только нечетные взаимно простые числа (из которых хоть одно положительно) состоят исключительно из простых чисел, меньших

Итак, пусть теорема 7 справедлива для каждой пары простых чисел, меньших возьмем любое простое число и докажем равенство Оставляя пока в стороне случай положим в остальных случаях при при Тогда будет квадратичным вычетом и доказываемое равенство равносильно следующему:

Так как то найдется такое четное число что где целое. Число нечетно, 2) положительно (так как при что противоречит условию), как Если не делится на то из равенства (принимая во внимание, что числа нечетные, взаимно простые и состоят из простых множителей, меньших получаем но так как четное, то следовательно, т. е. равенство (1) в настоящем случае доказано. Если то полагаем тогда откуда видно, что не делится на Числа нечетные, взаимно простые, по абсолютному значению меньше и разного знака (так что одно из них больше нуля); поэтому из формулы получаем Далее, так как четное, Таким образом формула (1) в рассматриваемых случаях доказана.

Обращаемся к исключенному выше случаю

В этом случае, чтобы провести рассуждение, подобное предыдущему, нужно доказать, что существует простое число меньше для которого есть квадратичный невычет. Если , то 1 есть положительное число формы меньшее и среди простых множителей этого числа должен быть по крайней мере один множитель той же формы. Так как , то

Если же , то доказать существование простого числа значительно труднее, и Гаусс достигает этого следующим исключительным по своему остроумию рассуждением. Пусть есть положительное нечетное число, меньше и обладающее свойством, что есть квадратичный вычел для всякого нечетного простого числа, меньшего или равного Так как , то есть квадратичный вычет для любой степени числа 2 (§ 9 гл. I) и можно найти целое число к, удовлетворяющее сравнению , где . Так как простое и то Далее,

Так как произведение последовательных целых чисел делится на произведение такого же количества первых целых чисел (§ 3 гл. I), то правая часть сравнения (2) делится на принимая во внимание, что убеждаемся в целости числа

Если взять т. е. (так как то то число (3) не может быть целым, так как представляет собою произведение нескольких положительных правильных дробей; при таком выборе наше первоначальное предположение не может иметь места, и получаем теорему: всякое простое число формы является квадратичным невычетом для одного по крайней мере нечетного простого числа, не превосходящего

Возвращаясь к последнему случаю простое) в доказательстве закона взаимности, найдем (на основании леммы) простое число для которого Если пара чисел подходила бы под исследованные уже в случаи закона взаимности и мы имели что противоречит выбору следовательно, и Для пары чисел закон взаимности установлен. Это дает возможность предполагать данное выше простое число отличным от кроме того, равенство торое мы желаем доказать (и которое выражает закон взаимности для пары равносильно такому: Так как квадратичный вычет то найдем четное число для которого целое нечетное число, по абсолютному значению меньшее Если то в силу справедливости закона взаимности для чисел находим

и, так как четное, , то что и требовалось доказать. Если делится на одно (и только на одно) из простых чисел по симметрии можно положить нечетное, четное. Из равенства

в силу справедливости закона взаимности для пар находим

Но следовательно,

и опять получаем Наконец, когда делится на оба числа то полагаем нечетное, четное. Прилагая закон взаимности к числам и замечая, что , находим из равенства Итак закон взаимности доказан полностью.